Teorema di Euclide: come trovare l'ipotenusa

Di Redazione Studenti.

Come calcolare l'ipotenusa applicando il primo e il secondo teorema di Euclide: la guida ti illustra le formule e i passaggi da seguire per trovare l'ipotenusa

Introduzione

Come trovare l'ipotenusa con il teorema di Euclide
Come trovare l'ipotenusa con il teorema di Euclide — Fonte: getty-images

Le nozioni che solitamente mandano in crisi gli alunni sono quelle di geometria analitica. Quest'ultima si occupa di tutto quello che riguarda le figure geometriche piane (come i rettangoli, i quadrati o i triangoli) e la loro rappresentazione sul cosiddetto piano cartesiano. Tale schema risulta formato dall'asse delle ascisse indicata con x e l'asse delle ordinate chiamata y. Il loro punto di incontro viene invece denominato origine.

Quando si parla di geometria analitica, il primo aspetto importante riguarda il fatto che gli argomenti non vanno studiati a memoria. Si tratta bensì di una materia che presuppone una certa lucidità mentale e dunque il ragionamento. La geometria analitica, così come tante ulteriori materie fondate su basi scientifiche, è necessario comprenderla sino in fondo. A tal proposito, viene assolutamente consigliato di effettuare quanti più esercizi possibili. In questa maniera verrà allenata la mente dello studente al calcolo e alla riflessione.

Un muro sul quale tanti alunni delle medie e delle superiori si imbattono frequentemente, rischiando di scontrarsi, è la risoluzione dei triangoli rettangoli. Come trovare l'ipotenusa ricorrendo al teorema di Euclide? Iniziando dalle nozioni fondamentali al riguardo, vediamo quindi com'è facile giungere a capo del problema.

Occorrente

  • Libro di geometria
  • Buona capacità di calcolo
  • Conoscenze base sui teoremi dei triangoli

Definire il triangolo rettangolo

Innanzitutto è possibile definire il triangolo rettangolo come una figura geometrica chiusa avente tre lati e tre angoli ottusi. Il maggiore di quest'ultimi risulta uguale a 90° o π/2 (se espresso in radianti). Il lato maggiore opposto all'angolo retto prende il nome di ipotenusa, mentre i due lati rimanenti vengono definiti cateti.

Per risolvere un qualsiasi triangolo rettangolo, si ha l'opportunità di ricorrere agli enunciati di Euclide o al teorema di Pitagora. Secondo quest'ultimo, bisogna costruire i quadrati sui tre lati. Il quadrato realizzato sull'ipotenusa corrisponde alla sommatoria tra quelli costruiti sui cateti.

Avendo quindi il valore dei lati (x e y), l'ipotenusa del triangolo rettangolo è il seguente: √[(x * x) + (y * y)]. Fatta tale premessa, vediamo adesso entrambi i teoremi di Euclide. Questi vengono incontro per la risoluzione dei triangoli rettangoli, ovvero la determinazione sulle misure dei lati.

Applicare il primo teorema di Euclide

Secondo quanto viene enunciato nel primo teorema di Euclide, in un triangolo rettangolo il quadrato costruito su uno dei due cateti e il rettangolo formato dall'ipotenusa e dalla proiezione del cateto su di essa sono equivalenti.

Per applicare questo teorema si disegna la figura in questione. Si andrà dunque a tracciare, partendo da un triangolo ABC, l'altezza di B sull'ipotenusa. Il punto di incontro verrà denominato P e segnerà la suddivisione del segmento AC in due parti uguali. Si otterranno dunque due porzioni di segmento, ossia AP e PC. Portandosi sul lato AB, bisognerà disegnare un quadrato con lati pari a quello su cui si lavora. Il rettangolo tracciato sul lato AC avrà una base uguale al segmento AP, mentre l'altezza corrisponderà alla dimensione dell'ipotenusa.

Una volta tracciate le figure, si farà riferimento alla proporzione AC: AB = AB: AP. Per trovare l'ipotenusa del triangolo ABC, si ricorrerà alla formula AC = AB2 / AP.

Applicare il secondo teorema di Euclide

Una volta enunciato e applicato il primo teorema di Euclide, è la volta del secondo. Quest'ultimo afferma che il quadrato costruito su un cateto avrà la stessa area di un rettangolo costruito sull'ipotenusa. I lati di tale figura sono le due proiezioni dei cateti sull'ipotenusa stessa.

Per prima cosa si andrà a tracciare l'altezza di B sull’ipotenusa, in modo tale da ottenere un punto P. Anche in questo caso, il lato AC si troverà diviso nei segmenti AP e PC. Ora il quadrato va tracciato sul lato AB e i due cateti vanno proiettati sull'ipotenusa.

In questo modo verrà formato un rettangolo che abbia i lati in PF e FG. Anche applicando il secondo teorema di Euclide si avranno il quadrato e il rettangolo con la stessa area.

Si sfrutterà dunque la proporzione AP: BP = BP: PC. Inoltre, si terrà conto del fatto che PC = BP2 / AP e AP = BP2 / PC.

Una volta compresi i meccanismi, si potranno sfruttare tali proporzioni per trovare l'ipotenusa del teorema di Euclide. Ovviamente entrambi i teoremi tornano utili per questo tipo di esercizio, quindi è bene memorizzare le formule di entrambi. Applicarle sarà davvero molto semplice.

Consigli

Non dimenticare mai:

  • per aiutarsi nello studio, è opportuno disegnare la figura che si sta analizzando. Con il ragionamento si arriverà più facilmente alla soluzione;
  • consultare il libro di geometria per un ripasso generale sui teoremi di Euclide e sui triangoli in generale.

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