Seconda prova: soluzioni di Matematica

Di Redazione Studenti.

SPECIALE MATURITA' 2018

|Date maturità 2018| Tesine | Gruppo Fb maturità 2018 |

Il candidato risolva uno dei due problemi e cinque quesiti scelti nel questionario.

PROBLEMA 1 SCIENTIFICO TRADIZIONALE
Nel primo quadrante del sistema di riferimento Oxy, ortogonale e monometrico, si consideri la regione R, finita, delimitata dagli assi coordinati e dalla parabola λ d’equazione: y = 6 − x2 .

1. Si calcoli il volume del solido generato dalla rotazione completa di R attorno all’asse y.

2. Si calcoli il volume del solido generato dalla rotazione completa di R attorno alla retta y = 6 .

3. Si determini il valore di k per cui la retta y = k dimezza l’area di R.

4. Per 0 < t < 6 sia A(t) l’area del triangolo delimitato dagli assi e dalla tangente a λ nel suo punto di ascissa t. Si determini A(1).

5. Si determini il valore di t per il quale A(t) è minima.

PROBLEMA 2 DI ENTRAMBI GLI INDIRIZZI
Si consideri la funzione f definita sull’intervallo [0 ;+∞ [ da: f (0 ) 1

f ( x ) = 1/2 x ( 3 2 log x ) 1 se x 0

= − + >
=
x ( 3 2 log x ) 1 se x 0
2
f ( x ) 1
f (0 ) 1
2
e sia C la sua curva rappresentativa nel riferimento Oxy, ortogonale e monometrico.

1. Si stabilisca se f è continua e derivabile in 0.

2. Si dimostri che l’equazione f(x) = 0 ha, sull’intervallo [0 ;+∞ [, un’unica radice reale.

3. Si disegni C e si determini l’equazione della retta r tangente a C nel punto di ascissa x = 1 .

4. Sia n un intero naturale non nullo. Si esprima, in funzione di n, l’area An del dominio piano delimitato dalla curva C, dalla retta tangente r e dalle due rette:
n
x = 1 e x = 1.

5. Si calcoli il limite per n → +∞ di An e si interpreti il risultato ottenuto.


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QUESTIONARIO

Numero 3 allo Scientifico tradizionale e secondo PNI.
Testo: Si dimostri stri che la curva y = x sen x è tangente alla retta y = x quando sen x = 1 ed è tangente alla retta y = −x quando sen x = −1

Vai alla soluzione prima parte
Vai alla soluzione seconda parte

Numero 4: Si dimostri che tra tutti i rettangoli di dato perimetro, quello di area massima è un quadrato.

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Numero 5: Il numero e di Nepero [nome latinizzato dello scozzese John Napier (1550-1617)]: come si definisce? Perché la derivata di ex è ex ?

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Numero 6 allo Scientifico tradizionale e numero 7 PNI: Come si definisce n! (n fattoriale) e quale ne è il significato nel calcolo combinatorio? Quale è il suo legame con i coefficienti binomiali? Perchè?

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Numero 7: Se f ( x) = x4 −4x3 + 4x2 + 3, per quanti numeri reali k è f(k) = 2 ? Si illustri il ragionamento seguito

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Numero 8: I centri delle facce di un cubo sono i vertici di un ottaedro. E’ un ottaedro regolare? Quale è il rapporto tra i volumi dei due solidi?

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Numero 9: Si calcoli, senza l’aiuto della calcolatrice, il valore di: sen2 ( 35° ) + sen2 ( 55° ) ove le misure degli angoli sono in gradi sessagesimali.

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Numero 10: Si dimostri, calcolandone la derivata, che la funzione
x 1 f ( x ) arctg x arctg x 1 + −= − è costante, indi si calcoli il valore di tale costante.


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