Sistemi di tre equazioni di primo grado a 3 incognite

Sistemi di primo grado di tre equazioni a tre incognite: come si risolve. Metodo di risoluzione dei sistemi ed esercizi con esempi pratici

Sistemi di tre equazioni di primo grado a 3 incognite
istock

SISTEMI DI TRE EQUAZIONI A TRE INCOGNITE

Sistemi di tre equazioni di primo grado a tre incognite: come funzionano
Fonte: istock

Se la lezione del professore sui sistemi di tre equazioni a tre incognite non è stata abbastanza chiara (o ti sei accidentalmente distratto), puoi dare uno sguardo qui: troverai la spiegazione dell'argomento, ma soprattutto alcuni esercizi spiegati passo passo per capire meglio come funziona.

Cosa sono esattamente i sistemi di tre equazioni a tre incognite?

In generale, si presentano in questa forma (la cosiddetta forma normale o ridotta o canonica):

Rispetto ai sistemi di due equazioni in due incognite, non presentano novità dal punto di vista concettuale.
L'unica differenza sta, essenzialmente, nei calcoli, che richiedono più tempo.
Anche qui si tratterà di trovare una soluzione, se esiste, data da una terna di numeri stavolta, e non più da una coppia: (x,y,z).

METODI DI RISOLUZIONE

I metodi di risoluzione sono gli stessi che si sono già visto nel caso di due incognite; qui vedremo degli esercizi svolti con due soli di essi: il Metodo di sostituzione e il Metodo di Cramer.
Quest'ultimo presenta delle differenze importanti, perché richiede il calcolo di determinanti di matrici 3x3, che è ben più complesso dell'analogo calcolo nel caso 2x2.
Per quanto riguarda gli altri due metodi, confronto e riduzione, valgono le considerazioni e le procedure illustrate nel caso dei sistemi in due incognite.

METODO DI SOSTITUZIONE

Dopo aver effettuato tutte le operazioni presenti nel sistema, ridotto i monomi simili, e portato il sistema nella forma ridotta (come sopra) si esplicita una delle tre equazioni rispetto ad una qualsiasi delle tre variabili, ossia si ricava un'incognita in funzione delle altre due (ad es. x in funzione di y e z), e la si sostituisce nelle altre due equazioni.
Ci si concentra, quindi, su queste due equazioni (in cui compariranno solo y e z) e si ricava un'incognita in funzione dell'altra (ad es. y in funzione di z).
Si sostituisce nell'altra equazione, che diventa una semplice equazione di primo grado in una sola incognita (z). Si risolve, trovando un valore numerico per z e da questo si "risale" sostituendo nelle altre e ricavando valori numerici anche per le altre due variabili.
Vediamo tutto questo con un esempio:


Ricavo y nella prima equazione e la sostituisco nelle altre due:


Per avere calcoli più semplici, divido per 7 la seconda e la terza equazione:


Ricavo x nella seconda equazione e la sostituisco nella terza equazione:


Avendo ora un'equazione di primo grado in z, la risolvo trovando un valore per z:

Ottenuto il valore di una incognita lo sostituiamo nella seconda equazione, nella quale l'altra incognita era stata messa in evidenza e poi risaliamo fino alla prima equazione, ottenendo i valori delle tre incognite x, y, z.


Nota bene: in questi ultimi passaggi i sistemi sono stati "compilati" dal basso verso l'alto.
Ogni volta che ottengo un valore per una variabile, "risalgo" e sostituisco il valore ottenuto nelle altre equazioni, fino a trovare un valore per tutte e 3 le incognite.

Attenzione: in questo sistema, la soluzione esiste ed è unica: si tratta della terna x=2, y=1, z=5.

Non si tratta di 3 soluzioni.

Anche qui c'è un'interpretazione geometrica: la terna di valori definisce un punto nello spazio. Ma la geometria analitica dello spazio non viene studiata a scuola, quindi potete trascurare questo aspetto.

METODO DI CRAMER

Dopo aver posto il sistema nella forma canonica


Calcoliamo i quattro determinanti Delta, Delta x, Delta y, Delta z, dati rispettivamente dalle
seguenti espressioni:





La soluzione si trova in modo analogo a quanto visto nel caso di due incognite:


Dovrà essere necessariamente:


Vediamo un esempio:.


Calcoliamo i determinanti:





La soluzione è data da:

Nota.
Per il calcolo dei determinanti si è utilizzata la regola di Laplace sviluppando lungo la prima riga.
Questa regola vale in generale, quale che sia la dimensione della matrice (quadrata) che si consideri.

Nel caso delle matrici 3x3, però, esiste una formula molto più comoda per effettuare lo stesso calcolo, nota come formula di Sarrus.
Per rendere i calcoli più veloci, consiglio di utilizzare quest'ultima. Ricordo che vale esclusivamente per le matrici quadrate di ordine 3.

EQUAZIONI: TUTTO QUELLO CHE DEVI SAPERE

Se hai bisogno di ulteriori spiegazioni sulle equazioni, puoi dare uno sguardo qui:

Un consiglio in più