Definizione e spiegazione della sezione aurea, o numero aureo, in matematica e le diverse applicazioni nell'arte, in natura e in musica

SEZIONE AUREA

Sezione aurea. Uomo vitruviano
Sezione aurea. Uomo vitruviano — Fonte: ansa

La Sezione Aurea fu scoperta da Ippaso di Metaponto e si conosce sin dall’antichità, tanto che la si può trovare nel libro VI degli Elementi di Euclide. Inoltre, Luca Pacioli, nel 1509, scrisse il libro “De divina proportione”, dove espose i casi in cui la si utilizza. Essa rappresenta un rapporto numerico, che trova applicazioni nelle opere d’arte (pittura, scultura e architettura), nelle proporzioni del corpo umano, in musica e perfino in natura (nei molluschi, nella disposizione, nella struttura delle foglie, etc.).

SEZIONE AUREA IN MATEMATICA

La sezione aurea di un segmento è la parte di esso che è media proporzionale fra l’intero segmento e la parte rimanente.

Dimostrazione: per trovare il valore numerico della sezione aurea si prenda in considerazione un generico segmento a. Si divida tale segmento in due parti non uguali; indicheremo la parte maggiore con b e la minore con (a-b). In base alla definizione, possiamo scrivere che: a : b = b :(a-b). In base alle proprietà delle proporzioni, troveremo che b² = a (a-b); ponendo a = 1, diventa b² = 1-b → b²+b-1=0, che è un’equazione di secondo grado avente come soluzione positiva (quella negativa non ha senso per una lunghezza): -1+√5/2 che è uguale circa a 0,618033928…, e si indica con φ (Phi), che si legge fi (da Fidia, lo scultore greco che utilizzò questo rapporto per realizzare le proporzioni del Partenone).

Per trovare la sezione aurea di un segmento ricorrendo ad una costruzione geometrica:

  • disegnare un segmento AB e tracciare la perpendicolare su uno dei vertici, di lunghezza pari a metà del segmento AB;
  • unire i vertici dei segmenti non congruenti;
  • disegnare l’arco che va dal vertice B fino all’ipotenusa del triangolo, con centro sul vertice dell’angolo acuto maggiore;
  • disegnare l’arco che va dall’intersezione del primo arco fino al cateto maggiore, con centro sul vertice dell’angolo acuto minore (A).

Il segmento AM rappresenta la sezione aurea del segmento AB.

SEZIONE AUREA NELL'ARTE

Esempi sull’applicazione della sezione aurea sono moltissimi ma il più famoso è quello sul Partenone di Atene. Gli artisti che ne fecero uso sono, tra gli altri. Leonardo da Vinci, Piet Mondrian (pittore ottocentesco), Georges Seurat (pittore francese), Piero della Francesca e Sandro Botticelli; fu utilizzata anche in architettura, per esempio per la costruzione delle chiese di San Pietro e di Ognissanti a Valenzano.

Anfora greca (IV-III sec. a.C.): il diametro maggiore sta al diametro del collo come 1:0,618. Il listello all’altezza dei manici divide l’altezza totale in una proporzione aurea, che si riduce anche nel rapporto tra la fascia decorata a figure e la parte superiore del vaso.

SEZIONE AUREA IN NATURA

Il volto. La fronte divide l’altezza totale determinando la sezione aurea. La fronte, il naso e la parte inferiore del viso sono della stessa lunghezza. La bocca divide la parte inferiore del viso determinando a sua volta una sezione aurea.

Nautilus. La conchiglia Nautilus ha la forma di una spiarle logaritmica bidimensionale che, costruita, giace all’interno di un “rettangolo aureo”.

Osservazioni. Nel 1876 uno psicologo, Gustav Theodor Fechner, sottopose ad un gruppo di intervistati una serie di rettangoli, dei quali uno era proporzionato secondo il rapporto aureo. La maggior parte di essi prediligeva il rettangolo di queste proporzioni dimostrando una naturale predisposizione alla proporzione aurea da parte dell’uomo.

SEZIONE AUREA IN MUSICA

In un violino, il cui timbro dipende dalle possibilità di vibrazione di tutte le parti, la sezione aurea gioca sicuramente un ruolo; se misurassimo uno Stradivari constateremo che esso è contenibile entro quattro pentagoni regolari (il pentagono regolare segue il rapporto aureo: le sue diagonali costituiscono una stella a cinque punte) i cui lati sono le tangenti.

    Domande & Risposte
  • A cosa serve la sezione aurea?

    La sezione aurea rappresenta un rapporto numerico, che trova applicazioni nelle opere d’arte (pittura, scultura ed architettura), nelle proporzioni del corpo umano, in musica e in natura.

  • Chi ha inventato la sezione aurea?

    Ippaso di Metaponto.

  • Come trovare la sezione aurea di un segmento?

    La sezione aurea (o numero aureo) di un segmento è la parte di esso che è media proporzionale fra l’intero segmento e la parte rimanente.