La scomposizione dei polinomi in fattori primi

Di Redazione Studenti.

Scomposizione dei polinomi in fattori primi: Tabella ed esercizi con passaggi per capire come funziona la scomposizione dei polinomi

SCOMPOSIZIONE DEI POLINOMI IN FATTORI PRIMI

SCOMPOSIZIONE POLINOMI - Hai un compito di matematica sulla scompozione dei polinomi in fattori primi ma la lezione in classe non è stata molto chiara? Ecco per te un pratico schema in cui ti spiegheremo le diverse tipologie di scomposizioni e le regole per metterle in pratica. Vedrai: con il nostro aiuto il compito di matematica ti sembrerà una passeggiata (o quasi!).
Da non perdere: Matematica: spiegazioni ed esercizi svolti online

SCOMPOSIZIONE DEI POLINOMI IN FATTORI PRIMI, ESERCIZI

Raccoglimento totale a fattor comune

Si calcola il M.C.D. fra i monomi presenti nel polinomio, lo si pone "in evidenza" davanti a una parentesi e si inserisce nella parentesi il risultato della divisione di ciascun termine del polinomio per il M.C.D. Bisogna fare attenzione ai segni.
Esempi:
24x4 + 5x3 - 15x2 + 75x = 5x(5x3 + x2 - 3x + 15)
12x3 + 4x2 - 16x = 4x(3x2 + x - 4)

Per essere sicuri di avere scomposto in modo corretto si può fare una verifica: si sviluppa il prodotto tra il monomio e il polinomio tra parentesi (anche mentalmente) e, se la scomposizione è corretta, si deve ottenere il polinomio di partenza.

Raccoglimento parziale a fattor comune

E' la scomposizione che richiede maggiore "occhio".
L'idea generale è questa. Si raccoglie un fattore comune fra alcuni dei termini presenti. Si raccoglie un altro fattore comune ad altri termini. Se nelle parentesi delle due scomposizioni effettuate si trova lo stesso polinomio, si può mettere in evidenza questa stessa parentesi.
Si vedrà meglio dopo con un esempio.
Naturalmente, la bravura sta nel mettere in evidenza dei fattori che fanno sì che tra parentesi compaia lo stesso polinomio. Non esiste una regola generale; spesso bisogna procedere per tentativi, dal momento che i fattori evidenziabili possono essere più di uno.
Vediamo alcuni esempi:
2x - 2y + x2 - xy - 2(x - y) + x(x - y) - (x - y)(2 + x)

Come si vede, nel primo passaggio si sono effettuate due scomposizioni. In entrambe le parentesi compare il binomio (x - y): mettiamolo in evidenza e trattiamolo come se fosse un monomio. Con quali coefficienti (numerici/letterali) compare? +2 e +x (ho evidenziato i segni per non commettere errori).
Tali coefficienti vanno inseriti nella nuova parentesi.
Al solito, per verificare la correttezza della scomposizione si può fare il prodotto tra i binomi così ottenuti e il risultato deve dare il polinomio di partenza.
Il raccoglimento è parziale, perché coinvolge solo una parte dei termini del polinomio.
Si può anche notare che si potevano fare altri tentativi, ad esempio mettere in evidenza la x del primo e del quarto monomio, ma questo tentativo non avrebbe prodotto nulla di buono. Provate.

Vediamo un altro esempio:
6x2 - 8xy + 12xy - 16y2 - 2x(3x - 4y) + 4y(3x - 4y)

Metto in evidenza il binomio (3x - 4y). Questo compare con coefficienti + 2x e + 4y.
La scomposizione finale pertanto è data da: (3x - 4y)(2x + 4y).

Scomposizione del prodotto notevole (2 termini)

In presenza di un binomio composto da due quadrati, separati dal segno meno, riconosciamo il prodotto notevole svolto, del tipo:
(a + b)(a - b) = - a2 - b2

La scomposizione in questo caso consiste essenzialmente nel cercare le basi dei quadrati e scrivere "al contrario" questa uguaglianza:
16x2 - 9y2 = (4x - 3y)(4x + 3y)

Si vede subito che le basi sono rispettivamente 4x e 3y: la scomposizione è data dal prodotto di due binomi, in cui compaiono queste basi intervallate dal segno + in uno di essi e dal segno – nell'altro.

Scomposizione del trinomio di secondo grado (3 termini): riconoscimento del quadrato di un binomio

In presenza di tre termini, di cui due risultano essere due quadrati, ricordando la regola del quadrato del binomio
riconosciamo il quadrato del binomio risalendo ai valori iniziali che sono stati elevati al quadrato e prestando particolare attenzione al doppio prodotto, che ci suggerirà il segno nel binomio.
Esempi:
x2 + 10x + 25 = (x + 5)2

Come si vede x2 e 25 sono i quadrati di x e 5 rispettivamente. Nel trinomio compare anche +10x, che è proprio il doppio prodotto tra 5 e x. Da queste considerazioni, è immediato il riconoscimento del quadrato del binomio (x + 5).

Scomposizione del trinomio di secondo grado (3 termini): caso generale

In presenza un trinomio completo di secondo grado, cioè un trinomio in cui compare un termine al quadrato, uno alla prima potenza e un termine noto (cioè senza lettere), possiamo scomporre cercando tra i divisori del termine noto quei due numeri, la cui somma ci dia il valore del coefficiente numerico del termine di primo grado cambiato di segno e il cui prodotto ci dia il valore del termine noto.
Se non si riesce in maniera "intuitiva", si può tranquillamente risolvere l'equazione di secondo grado associata (ovvero: polinomio=0): le due radici (o soluzioni) trovate sono proprio i numeretti che cerchiamo (provare per credere).
Con i due numeri "in mano", chiamiamoli m ed n, la scomposizione è immediata: il polinomio dato si può scrivere come prodotto di due binomi: (x-m)(x-n)
Vediamo gli esempi: x2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)
Qui si aveva: m=3, n=4.
Infatti: 3 + 4 = 7 e 3*4=12.
x2 - 5x + 6 -(x - 3)(x - 2)

Attenzione al prossimo: x2 + 8x + 12 -(x + 6)(x + 2)
Qui m ed n erano entrambi negativi: m=-6, n=-2
(infatti: -6+(-2)=-8 e (-6)*(-2)=+12). Ecco perché nei binomi abbiamo inserito x+2 e x+6: si ottengono come x-(-2) e x-(-6).
Attenzione!!
La regola che si è vista vale solo nel caso in cui il coefficiente di secondo grado è 1.
Nel caso sia diverso da 1, la scomposizione si effettua in questo modo (naturalmente è una generalizzazione di quanto appena visto, quindi potete applicare sempre questa senza problemi):
•  si calcono le radici dell'equazione associata; chiamiamole ancora m ed n;
•  la scomposizione è data da: a(x-m)(x-n).
L' unica differenza, fondamentale, è data dal coefficiente a davanti ai due binomi.
Esso non è altro che il coefficiente del termine di secondo grado.
Quindi, per fare un esempio: 2x2 -10x + 12 = 2(x - 3)(x - 2)
dopo aver calcolato le due radici, che sono m=3, e m=2.
Questa scomposizione è una delle più importanti ed è quella che non si ricorda mai. Soprattutto non scordatevi il coefficiente a davanti ai binomi.
Si vede subito che se a=1, si torna ai primi esempi visti.

Scomposizione della somma o differenza di cubi (2 termini) secondo la regola

a3 + b3 = (a + b)(a2- ab + b2)
a3 - b3 - (a - b)(a2+ ab + b2)
In presenza della somma o della differenza di due cubi scomponiamo tale binomio, seguendo le regole sopra indicate.
Esempi:
x3 + 125 = (x + 5)(x2 - 5x + 25)
x3 - 1 = (x - 1)(x2 + x + 1)

Tali regole non sono difficili da ricordare, in quanto, dopo aver riconosciuto le basi dei due cubi, queste vanno riportate in un binomio intervallate dallo stesso segno che c'è tra i due cubi (negli esempi: x+5 e x-1).
Successivamente, va scritto un polinomio tra parentesi che è molto simile al quadrato di binomio: non bisogna fare il doppio prodotto, ma solo il prodotto semplice, ed esso ha segno opposto a quello che c'è tra i due cubi di partenza.
Altri esempi:
x3 + 8 = (x + 2)(x2 - 2x + 4)

Scomposizione del quadrato del trinomio (6 termini) secondo la regola

(a + b + c)2 - a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
In presenza di sei termini, di cui tre risultano essere dei quadrati, possiamo effettuare il riconoscimento del quadrato di un trinomio se, una volta trovate le tre basi, sono presenti i tre "doppi prodotti".
Esempio:
25x2 + 36y2 + 9z2 + 60xy + 30xz + 36yz = (5x + 6y + 3z)2

I tre quadrati sono 25x2, 36y2 e 9z2, da cui ricaviamo le tre basi 5x, 6y e 3z.
I tre doppi prodotti sono 60xy, 30xz e 36yz.
In quest'altro esempio, bisogna fare molta attenzione ai segni:
x2 + 4y2 + 49z2 - 4xy + 14xz -28yz - (x - 2y + 7z)2

Scomposizione del cubo di un binomio (4 termini) secondo la regola



In presenza di sei termini, di cui due risultano essere dei cubi, riconosciamo il cubo di un binomio svolto se, una volta trovate le due basi, sono presenti:
•  il triplo del quadrato del primo, moltiplicato per il secondo
•  il triplo del primo, moltiplicato per il quadrato del secondo
Esempio: 27x3 + 1 + 27x2 + 9x = (3x + 1)3

Si nota infatti che: 27x 3 e 1 sono i cubi di 3x e 1 rispettivamente; inoltre, sono presenti i tripli prodotti menzionati: 27x 2 è il triplo di 9x 2 * 1; 9x è il triplo di 3x*1 2
Anche qui, fare attenzione ai segni e accertarsi, anche tramite verifica a posteriori, che lo sviluppo del cubo dia come risultato il polinomio di partenza.

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