Regola di Ruffini: teorema ed esempi

REGOLA DI RUFFINI

Cos'è la regola di Ruffini? La regola di Ruffini è un teorema elaborato dal medico e matematico italiano Paolo Ruffini, e fa parte delle regole d'oro da conoscere in matematica per affrontare compiti ed esercizi, compresi quelli della seconda prova di maturità dello scientifico.

Vediamo brevemente in cosa consiste e come funziona.

REGOLA DI RUFFINI, TEOREMA

Sia M un polinomio; allora c è radice di M se e solo se M è divisibile per N=(x-c), cioè se esiste un polinomio Q tale che:

M=Q(x)(x-c)

DIMOSTRAZIONE

Ipotesi: c è radice di M → M(c)=0

Tesi: M(x) = Q(x) (x-c)

Poiché M e N si possono dividere, allora esistono Q e R tali che M = Q(x) * N = (x-c)+R(x)

grado(R)<grado(N) = grado(x-c) = 1

grado R=0 cioè R(x) =  (costante)

Dunque posso riscrivere che M(x) = Q(x) * (x-c) +

Uso l’ipotesi: M(c) = Q(c) * (c-c) +  =  = 0

M(c) è la costante ma per ipotesi M(c) deve essere uguale a 0 quindi =0 cioè R(x) = 0 e quindi vale la tesi M(x) = Q(x) (x-c)

VICEVERSA

Ipotesi: M(x) = Q(x) (x-c)

Tesi: c è radice di M → M(c)=0

Calcolo M(c): M(c) = Q(c) * (c-c) = Q(c) * 0 = 0.

Quindi la tesi è verificata (c è radice di M)

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