Lo studio delle funzioni (IV° parte)

LO STUDIO DI UNA FUNZIONE - Sei in quinto liceo e hai paura della prova di matematica? Devi sapere che, agli esami di maturità, capita quasi sempre uno studio di funzione, magari accompagnato da altre domande a contorno. Lo studio di funzione richiama infatti numerosi argomenti trattati nel corso di tutti e cinque gli anni di scuola (equazioni e disequazioni di tutti i tipi, limiti, derivate, ecc.) e si tratta di una importantissima sezione della matematica. Perciò, se la lezione sulle funzioni non ti è stata molto chiara, ecco per te dei comodi riassunti per non farti trovare impreparato!
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Guarda anche: Approfondimenti, lezioni ed esercizi sul programma di matematica di 5° liceo

4) Calcolo della derivata prima; studio del suo segno e ricerca dei punti di massimo e minimo relativi e dei punti di flesso a tangente orizzontale.
Si calcola la derivata prima, f' (x), e si imposta la disequazione f' (x)=0.

Si tratterà di risolvere, a seconda del tipo di funzione di partenza, una disequazione di qualche tipo studiato (algebrica, esponenziale, logaritmica; razionale, irrazionale, intera, fratta, ecc.).

L'insieme delle soluzioni rappresenta l'insieme di valori della x in cui la derivata prima è positiva, ovvero, per un noto teorema, l' insieme dei valori in cui la funzione assegnata è crescente.


Approfondisci: Problemi con la matematica? Spiegazioni ed esercizi svolti del 4° anno

I punti in cui si annulla la derivata sono da studiare con particolare attenzione: infatti, potrebbero rivelarsi punti di massimo/minimo relativo o di flesso a tangente orizzontale.

Attenzione!
Per trovare i punti in cui si annulla la derivata, non è necessario risolvere un'equazione a parte (f' (x)=0). Dallo studio della precedente disequazione, infatti, si hanno automaticamente anche i punti di annullamento della derivata. Negli esempi si vedrà come comportarsi, anche perché spesso si fa confusione con i punti che, invece, mandano all'infinito la derivata prima stessa.
Dallo studio del segno della derivata prima, i punti di massimo e minimo relativo sono individuati facendo le seguenti considerazioni.
Evidenzio i punti in cui la derivata prima si annulla, e li analizzo uno alla volta. Se in corrispondenza di un punto la derivata prima cambia segno, allora si tratta di un massimo oppure di un minimo.
Quello che si deve verificare, quindi, è che a destra e a sinistradel punto individuato il grafico del segno della derivata presenta segni opposti (prima + e poi -, o viceversa).

Vedi anche: Asintoti in generale: spiegazioni ed esercizi svolti

Per capire se il generico punto x0 individuato in precedenza è di massimo o di minimo, basta vedere in che modo cambiano questi segni:
se prima del punto c'è + e dopo c'è -, è un punto di massimo relativo.
Infatti, questa situazione comporta che la funzione di partenza, f(x), prima del punto cresce (f' (x)>0), nel punto x0 è stazionaria (la tangente è orizzontale: f' (x0)=0), dopo il punto decresce (f' (x)<0).
Al contrario, se prima del punto c'è - e dopo c'è +, è un punto di minimo relativo.
Infatti, questa situazione comporta che la funzione di partenza, f(x), prima del punto decresce (f' (x)<0), nel punto x0è stazionaria (la tangente è orizzontale: f' (x0)=0), dopo il punto cresce (f' (x)>0).
Se in corrispondenza di un punto che annulla la derivata prima, non si ha cambio di segno nel grafico del segno della derivata prima, la funzione ha un flesso a tangente orizzontale in quel punto.
In particolare, lo chiameremo flesso ascendente a tangente orizzontale se prima e dopo il punto la derivata prima è positiva (abbiamo + prima e + dopo x0); lo chiameremo, invece, flesso discendente a tangente orizzontale se prima e dopo il punto la derivata prima è negativa (abbiamo - prima e - dopo x0).
Infine, evidenzio i punti in cui la derivata prima va all'infinito, ma non la funzione di partenza. Sono punti di continuità, ma di non derivabilità di un tipo molto particolare. A seconda dei casi, si tratterà di una cuspide o di un flesso a tangente verticale. Non in tutte le scuole vengono studiati, qui vediamo brevemente di che si tratta.
Innanzitutto, ricordiamo che punti in cui la funzione è continua ma non derivabile sono i "classici" punti angolosi (si pensi alla funzione f(x)=|x|, nel punto x=0). In questi casi, si ha semplicemente che la derivata prima non esiste, nel senso che derivata destra e derivata sinistra hanno valori (finiti) diversi tra di loro: ci sono due tangenti in un punto.
Questi che vediamo ora sono di un tipo particolare, perché la derivata prima non esiste (come prima) e tende all'infinito in corrispondenza di tali punti.
Si ricordi che abbiamo detto che si tratta di punti in cui la funzione è continua.
Per distinguere tra cuspide e flesso a tangente verticale bisogna studiare il segno di questo infinito: si può dedurre dal grafico del segno della derivata prima, ponendo l'attenzione in corrispondenza del punto incriminato.
Se a sinistra viene e a destra (o viceversa: basta che ci sia un cambio nel segno di), si tratta di una cuspide.
Se, invece, non si ha cambio di segno (vale +8 sia a destra che a sinistra, ad esempio), si tratta di un flesso a tangente verticale.

La presenza del flesso a tangente verticale verrà confermata anche dallo studio della derivata seconda, come si vedrà nel seguito.

Nota
Si è visto, dunque, che la differenza tra un punto di massimo e un punto di minimo è nel come cambiano i segni (ma i segni cambiano!).
Mentre la differenza tra un punto di massimo/minimo e un punto di flesso a tangente orizzontale sta nel fatto che nel primo caso i segni cambiano, nel secondo no.
Quello che accomuna i massimi/minimi e i flessi a tangente orizzontale, invece, è che la derivata prima si annulla in quei punti. Questo non va mai dimenticato, altrimenti si ingenera una grande confusione, soprattutto quando vedremo i flessi a tangente obliqua.
Ricordatevi sempre, che dietro questo discorso algebrico (sul segno derivata prima), c'è il teorema che ci permette di passare dal segno della derivata al comportamento (crescenza/decrescenza) della funzione.
Un'altra cosa importante è che, se nel grafico del segno della derivata prima vi sono punti " non accettabili" (per qualche condizione posta in precedenza o per nuove condizioni imposte in questo passo), anche se in corrispondenza di essi si ha uno dei comportamenti visti sopra, questi non sono né massimi/minimi relativi né punti di flesso a tangente orizzontale.

Guarda anche le altre spiegazioni sullo studio di una funzione:

- Spiegazione della procedura

- Determinazione del dominio di f(x)

- Studio del segno di f(x)

- Studio della continuità e ricerca degli asintoti:
- Asintoti verticali (e discontinuità)
- Asintoti orizzontali
- Asintoti obliqui

- Derivata prima; punti di Max e min e i punti di flesso a tg orizzontale

- Derivata seconda; studio del suo segno e ricerca dei punti di flesso

- Disegno del grafico

- Esempi di Studio di Funzioni