Principi della dinamica: definizione e formule

I principi della dinamica furono formulati da Isaac Newton (1642-1727) che enunciò le leggi del moto nella sua opera principale Philosophiae naturalis principia mathematica. Essenzialmente, la dinamica studia il moto di un punto materiale in relazione alle forze che lo determinano.  

Il principio di inerzia stabilisce il comportamento di corpi non soggetti a forze o soggetti a un sistema di forze che si equilibrano. Il contributo di Galileo Galilei in tal senso fu quello di osservare che i corpi, quando messi in condizione di risalire per effetto della velocità acquisita nella caduta, raggiungono la stessa altezza iniziale indipendentemente dalla traiettoria (salvo piccole variazioni imputabili agli attriti).  

Galileo Galilei considerò diverse coppie di piani inclinati ed una sfera: se fatta rotolare giù per il primo piano (moto accelerato), l’altezza raggiunta risalendo sul secondo (moto decelerato) era sempre la stessa, indipendentemente dall’inclinazione del secondo piano rispetto al primo. 

Per raggiungere la stessa altezza sui diversi piani, la decelerazione diminuisce all’aumentare dell’inclinazione (lo spazio percorso dalla sfera aumenta infatti all’aumentare dell’inclinazione). Quando il secondo piano è orizzontale (inclinazione pari a zero) la decelerazione della sfera diventa nulla e quindi la velocità rimane costante. 

Le forze agenti sulla sfera che si muove sul piano orizzontale sono la forza peso e la reazione vincolare del piano e queste, presupponendo l’assenza di attriti, si fanno equilibrio: la sfera mantiene quindi una velocità costante pur essendo soggetta ad una forza risultante nulla. 

Galileo non enunciò esplicitamente la legge di carattere generale in grado di riassumere quanto da lui osservato. Il primo principio della dinamica o principio di inerzia fu enunciato infatti da Isaac Newton nella forma seguente: ogni corpo non soggetto a forze, rimane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme rispetto a un sistema inerziale di riferimento.  

Con il primo principio della dinamica viene introdotto anche il concetto di inerzia dei corpi, proprietà per cui essi tendono a conservare il proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme. Per variare tali stati, ovvero per mettere in moto o fermare corpi non soggetti a forze, è necessario applicare una forza.

Quando parliamo di quiete o di moto di un corpo, bisogna ricordare sempre che tali stati sono relativi al sistema di riferimento che viene considerato. Un sistema di riferimento può essere definito come un insieme di oggetti rispetto ai quali viene studiato il movimento di un corpo. Formalmente è costituito da due o tre assi (per lo studio del movimento nel piano o nello spazio rispettivamente) orientati e ortogonali tra loro. 

Considerando ad esempio due treni che si muovono alla stessa velocità ma in versi opposti, avremo diverse “percezioni di movimento” dei treni e del paesaggio esterno a seconda del sistema di riferimento considerato (Terra, treno 1 o treno 2).   

Sistema di riferimento collegato con la Terra: i due treni si muovono alla stessa velocità, in versi opposti, e il paesaggio esterno è in quiete.
Sistema di riferimento del treno 1: il treno 1 è in quiete, il treno 2 e il paesaggio esterno si muovono nel verso del treno 2 (il paesaggio alla velocità dei treni e il treno 2 a velocità doppia rispetto a quella di un singolo treno).
Sistema di riferimento del treno 2: il treno 2 è in quiete, il treno 1 e il paesaggio esterno si muovono nel verso del treno 1 (opposto a quello del treno 2; il paesaggio alla velocità dei treni e il treno 1 a velocità doppia rispetto a quella di un singolo treno).

Generalmente, le osservazioni in fisica sono riferite a sistemi di riferimento collegati con la Terra ma possono essere considerati anche sistemi di riferimento diversi. Un esempio in tal senso può essere quello classico del passeggero in macchina che rispetto al guidatore risulta in quiete: in questo caso il sistema di riferimento utilizzato è quello della macchina e non della Terra. 

I sistemi di riferimento in cui è valido il principio di inerzia vengono definiti sistemi inerziali. Se tale principio è valido in un sistema di riferimento, lo sarà anche in un sistema di riferimento in moto rettilineo uniforme rispetto al primo; al contrario, la validità viene meno in un sistema di riferimento che si muove di moto accelerato rispetto al primo.  

Rispetto al guidatore il pacco è fermo (valido il principio di inerzia) e poiché rispetto alla Terra si muove di moto rettilineo uniforme (quello della macchina), il principio di inerzia mantiene la sua validità anche rispetto al sistema di riferimento terrestre.  

Se la macchina frena bruscamente, il pacco cadrà in avanti: accelera rispetto alla macchina (e quindi il primo principio perde validità) mentre rispetto al sistema terrestre continua a muoversi di moto rettilineo uniforme per cui il primo principio è ancora valido.  

In generale, un sistema di riferimento inerziale può essere definito come un sistema di riferimento stellare, ovvero con origine in una stella e con gli assi orientati verso le stelle fisse. Sistemi di riferimento in moto rettilineo uniforme rispetto a un sistema stellare sono sistemi inerziali; lo stesso non vale per sistemi di riferimento in moto accelerato rispetto a un sistema stellare. 

I sistemi di riferimento terrestri possono essere considerati inerziali, con buona approssimazione. La Terra ha infatti un moto di rivoluzione intorno al Sole e uno di rotazione intorno al proprio asse.   

In realtà, poiché nei moti circolari vi è sempre un’accelerazione, il sistema terrestre non risulta inerziale poiché in moto accelerato rispetto alle stelle. In pratica però, poiché la velocità angolare che determina l’accelerazione della Terra è piuttosto piccola, un sistema terrestre può essere considerato approssimativamente inerziale.    

Il secondo principio della dinamica si riferisce a corpi sui quali agisce una forza o più forze a risultante non nulla. In particolare, ci permette di valutare la relazione che c’è tra la forza applicata ad un corpo e l’accelerazione prodotta. 

Come accennato, il secondo principio è valido anche nei casi in cui agiscono più forze. Considerando ad esempio due forze agenti (F1 e F2), la F della relazione va considerata come la risultante di F1 e F2 e l’accelerazione a come la somma vettoriale delle accelerazioni a1 e a2 che le due forze produrrebbero se agissero da sole e indipendentemente. 

La relazione F=m.a (che può essere intesa in forma vettoriale) rappresenta la traduzione in formula del secondo principio della dinamica: ogni forza applicata ad un corpo libero di muoversi produce un’accelerazione nella direzione e verso della forza direttamente proporzionale all’intensità della forza stessa.  

Come accennato, il secondo principio della dinamica è valido anche nei casi in cui agiscono più forze. Considerando ad esempio due forze agenti (F1 e F2), la F della relazione va considerata come la risultante di F1 e F2 e l’accelerazione a come la somma vettoriale delle accelerazioni a1 e a2 che le due forze produrrebbero se agissero da sole e indipendentemente.   

Notiamo anche come il principio di inerzia sia pienamente compreso nel secondo principio della dinamica: per il secondo principio se F=0 risulta a=0 e quindi un corpo persevera nello stato di quiete o di moto rettilineo uniforme se la risultante delle forze agenti è nulla. 

Come descritto nel paragrafo precedente, dall’esperienza è stato dedotto che la forza risultante agente su un determinato corpo produce un’accelerazione direttamente proporzionale alla forza stessa secondo la relazione F=m.a dove m è la massa inerziale del corpo.  

Questa grandezza esprime una misura dell’inerzia dei corpi, ovvero la resistenza che presentano ad accelerare sotto l’azione di una forza. Dalla relazione F=m.a si ricava infatti che m=F/a: a parità di forza applicata, maggiore è la massa e minore sarà l’accelerazione del corpo considerato. 

Ricordiamo che la massa gravitazionale viene intesa come una proprietà dei corpi misurabile su una bilancia a bracci uguali. A livello operativo è quindi diversa dalla massa inerziale, definita come rapporto tra la forza agente su un corpo e l’accelerazione prodotta.  

Pur avendo definizioni operative diverse, è bene sottolineare che tra la massa inerziale e la massa gravitazionale di uno stesso corpo vi è una proporzionalità diretta dimostrata sperimentalmente. Entrambe sono espresse dalla stessa unità di misura che nel sistema internazionale (SI) è il kg. 

Ricordiamo inoltre che se indichiamo con m la massa di un corpo, il suo peso (inteso come forza di attrazione della Terra) sarà dato dal prodotto di m per l’accelerazione di gravità g. Quest’ultima, e quindi anche il peso, varia con la posizione; al contrario, la massa rimane costante.  

Il terzo principio della dinamica è anche comunemente noto come principio di azione e reazione: a ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria. In altri termini, considerando due corpi (C1 e C2), l’azione è la forza (F12) che il primo esercita sul secondo mentre la reazione è la forza (F21) con cui C2 reagisce su C1. Rispetto alla F12, la F21 è uguale in modulo ma diretta in senso opposto e avente la stessa retta d’azione C1 C2.    

Il terzo principio della dinamica ha validità generale e non limitata ai casi in cui vi siano pressioni o contatti in genere tra i corpi. L’interazione gravitazionale, ad esempio, ne è una dimostrazione. Le forze che due corpi quali una mela e la Terra esercitano l’uno sull’altro sono sempre opposte e con la stessa retta d’azione.  

L’esempio presenta ovviamente due corpi aventi masse notevolmente diverse e quindi reagiscono all’azione delle forze in modo differente: la Terra è pressoché insensibile all’azione esercitata dalla forza peso della mela, la quale a sua volta attrae la Terra con una forza opposta all’azione con cui la Terra attrae la mela.