Pressione nei fluidi: proprietà, principio di Pascal, pressione e galleggiamento

I fluidi sono sostanze allo stato liquido (es. acqua) o aeriforme (es. un gas), che non possiedono una forma propria, costituiti da particelle che possono spostarsi per lunghe distanze e dal cui movimento deriva appunto la mancanza di una forma propria (i fluidi assumono infatti la forma del recipiente che li contiene).

Per quanto riguarda gli aeriformi, sottolineiamo inoltre che non hanno un volume proprio ma occupano tutto il volume del recipiente, indipendentemente dalla quantità.   

Le deformazioni di un fluido sono elastiche: consideriamo un recipiente contenente un fluido con un pistone sul quale viene esercitata una forza. Lo stantuffo si abbasserà ma tornerà alla posizione iniziale non appena la forza cesserà di agire, come se tra lo stantuffo e il fondo del recipiente ci fosse appunto un elastico.  

La densità è una proprietà caratteristica delle sostanze, che assume cioè lo stesso valore per corpi di massa e volumi diversi. La densità è definita come rapporto tra massa (m) e volume (V) della sostanza considerata: ρ ≡ m/V (l’unità di misura nel Sistema Internazionale è quindi kg/m3). Considerando che l’aumento di temperatura determina un aumento di volume e un aumento di pressione produce una diminuzione del volume, possiamo affermare che, mentre la massa rimane costante in entrambi i casi, la densità: 

• diminuisce con l’aumentare della temperatura,
• aumenta con l’aumentare della pressione.

La definizione di densità è valida per tutte le sostanze, indipendentemente dal loro stato di aggregazione ma è bene precisare che la densità dei solidi e dei liquidi varia molto debolmente al variare di pressione e temperatura, mentre la densità dei gas ne è fortemente influenzata. 

La densità relativa di una sostanza viene invece definita come rapporto tra la massa m della sostanza considerata di volume V e la massa m’ di un ugual volume di acqua distillata a 4 °C: ρr = m/m’ quindi: ρr = ρV/ ρ’V = ρ/ ρ’ ovvero che la densità relativa è uguale al rapporto tra la densità della sostanza considerata e la densità dell’acqua distillata a 4 °C. 

Il peso specifico ps di una sostanza viene definito come il rapporto tra il peso P della sostanza e il suo volume V:
ps = P/V = mg/V = ρ g ovvero il prodotto della densità per l’accelerazione di gravità. Nel Sistema Internazionale, l’unità di misura del peso specifico è il N/m3 (rapporto tra una forza e un volume). Analogamente a quanto visto per la densità, è possibile definire anche il peso specifico relativo come rapporto tra il peso P di una sostanza di volume V e il peso P’ di un ugual volume di acqua distillata a 4 °C: pr = P/P’.

Quello di pressione è un concetto molto importante nella meccanica dei fluidi, siano essi liquidi o aeriformi. Considerando una forza F che agisce perpendicolarmente ad una superficie S, la pressione p è definita come il rapporto tra F ed S: p = F/S (l’unità di misura nel Sistema Internazionale sarà pertanto N/m2 = pascal (Pa)).  

Per avere un’idea pratica della trasmissione delle forze nei fluidi consideriamo ad esempio un recipiente contenente acqua, munito di pistone e con un’apertura laterale. Se viene esercitata una forza sul pistone, l’acqua fuoriesce dall’apertura con un getto tanto più forte quanto maggiore è l’intensità della forza applicata sul pistone. Se si considerano due recipienti contenenti un liquido, che siano di uguale area, comunicanti e dotati di un pistone, si osserverà che esercitando una forza sul 1° pistone, il liquido solleverà il pistone nel 2° recipiente: la forza si trasmette da un recipiente all’altro. Per ristabilire l’equilibrio è necessario poggiare un peso uguale anche sul 2° pistone.  

In pratica si può concludere quindi che una forza applicata sulla superficie di un fluido si trasmette in tutte le direzioni all’interno del fluido con la stessa intensità su superfici uguali. Considerando invece superfici di area diversa, si noterà una proporzionalità diretta tra la forza da applicare per ristabilire l’equilibrio e l’area della sezione considerata. Se il 2° recipiente avesse una sezione doppia rispetto al 1°, per ristabilire l’equilibrio sarebbe necessario applicare sul pistone del 2° recipiente una forza doppia rispetto a quella applicata sul primo. 

Il principio di Pascal afferma che una pressione esercitata in un punto di una massa fluida si trasmette in ogni altro punto e in tutte le direzioni con la stessa intensità. Secondo questo principio quindi, se in un punto di un fluido la pressione è variata per qualunque motivo di una certa quantità, tale variazione si trasmette in ogni altro punto del fluido. 

Un dispositivo, noto con il nome di torchio o pressa idraulica, è basato proprio su questo principio. Tale dispositivo è costituito da due cilindri muniti di stantuffo, comunicanti tra loro e di sezioni notevolmente diverse tra loro. Se si applica una forza F1 sullo stantuffo di sezione S1, la pressione sarà: p1 = F1/S1. Per il principio di Pascal, la pressione p1 si trasmette dal basso verso l’altro sul secondo pistone di sezione S2. La forza F2 trasmessa risulterà uguale alla forza F1 applicata, moltiplicata per il rapporto S2/S1 delle sezioni dei due cilindri. Infatti: F2/S2 = F1/S1 da cui ricaviamo F2 = F1/S1 x S2 = F1 x S2/S1. Questo vuol dire che, a parità di forza applicata, la forza trasmessa è tanto più grande quanto maggiore è il rapporto tra le sezioni dei pistoni. 

Secondo la legge di Stevino, la pressione in un fluido dipende dalla profondità a cui viene misurata: considerando due punti che si trovino a diversa altezza nel fluido, la pressione sarà maggiore nel punto di profondità maggiore; in due punti che si trovano alla stessa altezza nel fluido, la pressione sarà invece la stessa. Questo ci indica quindi che una delle cause della pressione è la forza peso esercitata dagli strati di fluidi sovrastanti il volume interessato.  

Consideriamo un recipiente cilindrico di base S contenente un liquido di densità ρ e peso P. Essendo h l’altezza della colonna di liquido, la pressione alla profondità h sarà: p = P/S = ρ g h (legge di Stevino). Tale legge ci permette di calcolare quindi la pressione idrostatica, ovvero la pressione alla profondità h dovuta soltanto al peso del liquido. Per calcolare la pressione totale alla profondità h bisogna considerare, oltre alla pressione idrostatica ρ g h, anche la pressione atmosferica p0 quella cioè agente sulla superficie libera del liquido: pt = p0 + ρ g h.  

Consideriamo un tubo a forma di “U” contenente due liquidi non miscibili di densità ρ1 e ρ2 che raggiungono le altezze h1 e h2 nei due rami del tubo. Sulla superficie di separazione dei liquidi agiscono le pressioni idrostatiche esercitate dalle colonne liquide di altezza h1 (dall’alto verso il basso) e h2 (dal basso verso l’alto). In condizioni di equilibrio le pressioni sono uguali: ρ1 g h1 = ρ2 g h2 da cui: h1/h2 = ρ2/ρ1. Pertanto in condizioni di equilibrio, in due vasi comunicanti due liquidi non miscibili raggiungono altezze inversamente proporzionali alle densità. 

I manometri sono gli strumenti utilizzati per la misura della pressione dei fluidi. Una tipologia di manometro è quella a tubo aperto.

Immaginiamo un tubo a “U” contenente un liquido (es. mercurio) e costituito quindi da due rami: uno in comunicazione, mediante un rubinetto, con un recipiente contenente un gas o un liquido e l’altro con l’aria atmosferica. Mettendo in comunicazione tale tubo con il fluido di cui si vuole misurare la pressione, avremo: p = pa + ρ g h essendo p la pressione del fluido e pa la pressione atmosferica.

L’aria forma intorno alla Terra uno strato chiamato atmosfera la cui densità diminuisce con l’altitudine. L’aria, a causa del proprio peso, esercita una certa pressione su qualsiasi corpo che sia immerso in essa. Tale pressione è nota con il nome di pressione atmosferica ed è diretta perpendicolarmente alla superficie dell’oggetto, con modalità simile alla pressione dei liquidi.  

La pressione atmosferica decresce con l’aumentare dell’altitudine rispetto al livello del mare poiché decresce infatti lo spessore dell’atmosfera sovrastante. Tale diminuzione però non è proporzionale alla differenza di quota, come accade invece per i liquidi: per l’aria non è valida la legge di Stevino poiché con la quota variano contemporaneamente anche composizione e densità dell’aria. Il gradiente di pressione atmosferica indica la diminuzione di pressione atmosferica corrispondente ad un aumento di altitudine di 100 m.  

Il nome di Evangelista Torricelli (1608-1647) è legato principalmente alla scoperta del barometro, dispositivo utilizzato per la misura della pressione atmosferica.  

Per illustrare l’esperimento immaginiamo di riempire un tubo della lunghezza di circa 1 m con del mercurio e di capovolgerlo in una vaschetta contenente anch’essa mercurio, tenendo tappata l’estremità aperta. Dopo aver immerso nel mercurio della vaschetta l’estremità aperta, la si stappa fissando il tubo ad un sostegno. In queste condizioni si osserverà che il livello del mercurio nel tubo scende a un’altezza h rispetto alla superficie libera della vaschetta, di circa 76 cm al livello del mare. Sulla sezione del tubo in corrispondenza del livello di mercurio nella vaschetta, agiscono la pressione atmosferica e la pressione idrostatica della colonna di mercurio di altezza h. Pertanto, la pressione atmosferica al livello del mare è in media uguale a quella di una colonna di mercurio di altezza 76 cm, cioè a 1 atm.  

Per la misura della pressione atmosferica si utilizzano strumenti noti come barometri e di cui ne esistono due tipologie: a mercurio o metallici. I primi sono più precisi mentre i secondi si utilizzano soprattutto in caso di misure rapide (comunque è necessaria la taratura con un barometro a mercurio).  

Considerando un recipiente contenente un fluido in equilibrio in cui sia completamente immerso un corpo C, possiamo affermare che le forze agenti su C sono il proprio peso e la risultante delle forze di pressione sulla superficie. Se il corpo venisse sostituito da una massa di fluido avente lo stesso volume, la risultante delle forze sarebbe la stessa. Poiché la porzione di fluido è in equilibrio, il proprio peso deve equilibrare la risultante delle forze di pressione. 

Per il principio di Archimede, un corpo immerso in un fluido in equilibrio subisce una spinta diretta dal basso verso l’alto e uguale in grandezza al peso del liquido spostato. La spinta è in pratica l’equilibrante del peso del fluido spostato e come tale è applicata al baricentro del fluido spostato, etto centro di spinta. 

Il corpo immerso è soggetto a forze di pressione che agiscono sia sulla superficie laterale (forze opposte che si equilibrano) che sulle basi. Queste ultime si trovano a profondità diverse e quindi avremo: una pressione p agente sulla base superiore e diretta quindi dall’alto verso il basso ed una pressione sulla base inferiore diretta verso l’alto e data da p + ρ g h dove ρ indica appunto la densità del fluido in cui è immerso il corpo considerato. Detta S la superficie delle basi, le forze di pressione saranno quindi: 

• sulla base superiore (pS) e diretta verso il basso,
• sulla base inferiore (p + ρ g h)S e diretta verso l’alto.

La risultante di queste due forze sarà una forza diretta verso l’alto: ρ g h S = ps V dove ps è il peso specifico del fluido e V è il volume del corpo immerso e quindi anche il volume di fluido spostato. La risultante delle forze di pressione è una spinta che agisce sul corpo e che è uguale al peso del fluido spostato. 

Conoscendo il peso (P) di un corpo e la spinta di Archimede (S) subita dal corpo completamente immerso, possiamo avere diversi casi di equilibrio: 

• P>S: il corpo affonda,
• P = S: il corpo è in equilibrio,
• P<S: il corpo galleggia.