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Volume dei solidi: metodo delle sezioni

In questo modulo ci occuperemo di illustrare come il concetto di integrale viene utilizzato per il calcolo del volume di un solido, attraverso il cosìdetto metodo delle sezioni.

Consideriamo un solido di forma qualsiasi e cerchiamo un metodo che consenta il calcolo del volume; una procedura valida e molto pratica consiste nel "tagliare a fette" il solido. Vediamo come si può procedere.

Iniziamo, limitando il solido con due piani perpendicolari all'asse Studenti/matematica intersecanti l'asse nei punti Studenti/matematica e Studenti/matematica

Studenti/matematica

L'intervallo Studenti/matematica viene suddiviso in Studenti/matematica parti di uguale lunghezza; esaminiamo il generico intervallo Studenti/matematica. I due piani passanti per gli estremi di questi Studenti/matematica intervalli e perpendicolari all'asse Studenti/matematica individuano, ognuno di essi, una porzione piana del solido in esame di area Studenti/matematica dove Studenti/matematica é un punto interno a Studenti/matematica. Il volume determinato da questi due piani e dalla porzione interna del solido é:

Studenti/matematica

La somma di queste porzioni di solido che scriviamo di seguito:

Studenti/matematica

è l'integrale generalizzato di una funzione Studenti/matematica che individua il volume approssimato del solido in esame. Possiamo scrivere pertanto:

Studenti/matematica
1

Va precisato che questo calcolo ci é consentito laddove conosciamo la variazione dell'area delle sezioni individuate dai piani sezione.

Con il metodo esposto in precedenza possiamo calcolare il volume di solidi come il cono e la piramide.

Vediamo il caso della piramide

Studenti/matematica

Partendo dalla conoscenza dell'area di base Studenti/matematica e l’altezza Studenti/matematica. Conducendo un piano ad una generica altezza Studenti/matematica, diciamo Studenti/matematica l’area delle sezione così ottenuta. Per la (1) possiamo scrivere

Studenti/matematica

Ricordiamo ora il teorema

Teorema

Teorema delle sezioni parallele: in un solido a punta (cono, piramide), condotti dei piani paralleli alla base del solido, i solidi individuati sono simili e il loro rapporto di similitudine è il rapporto tra le altezze (distanza del piano parallelo dal vertice), il rapporto tra le aree è il quadrato del rapporto tra le altezze, e il rapporto tra i volumi è il cubo del rapporto tra le altezze.

Dal esso ricaviamo la relazione di proporzionalità

Studenti/matematica

quindi il volume si calcola come

Studenti/matematica
Studenti/matematica

che è la nota formula per il calcolo del volume di una piramide regolare.