In questo modulo ci occuperemo di illustrare come il concetto di integrale viene utilizzato per il calcolo del volume di un solido, attraverso il cosìdetto metodo delle sezioni.

Consideriamo un solido di forma qualsiasi e cerchiamo un metodo che consenta il calcolo del volume; una procedura valida e molto pratica consiste nel "tagliare a fette" il solido. Vediamo come si può procedere.

Iniziamo, limitando il solido con due piani perpendicolari all'asse intersecanti l'asse nei punti e

L'intervallo viene suddiviso in parti di uguale lunghezza; esaminiamo il generico intervallo . I due piani passanti per gli estremi di questi intervalli e perpendicolari all'asse individuano, ognuno di essi, una porzione piana del solido in esame di area dove é un punto interno a . Il volume determinato da questi due piani e dalla porzione interna del solido é:

La somma di queste porzioni di solido che scriviamo di seguito:

è l'integrale generalizzato di una funzione che individua il volume approssimato del solido in esame. Possiamo scrivere pertanto:

Va precisato che questo calcolo ci é consentito laddove conosciamo la variazione dell'area delle sezioni individuate dai piani sezione.

Con il metodo esposto in precedenza possiamo calcolare il volume di solidi come il cono e la piramide.

Vediamo il caso della piramide

Partendo dalla conoscenza dell'area di base e l’altezza . Conducendo un piano ad una generica altezza , diciamo l’area delle sezione così ottenuta. Per la (1) possiamo scrivere

Ricordiamo ora il teorema

Dal esso ricaviamo la relazione di proporzionalità

quindi il volume si calcola come

che è la nota formula per il calcolo del volume di una piramide regolare.