Prendiamo in esame una curva la cui equazione é , riprendiamo le ipotesi discusse nella lezione sull’area del trapezoide e consideriamo il rettangoloide (trapezoide) individuato dalla curva , dall'asse e dalle rette e . Nella rotazione completa attorno all'asse si genera un solido costituito dalla somma degli cilindri inscritti aventi per raggio base il minimo della nei mini intervalli in cui suddividiamo l'intervallo e altezza ;

facciamo lo stesso per il plurirettangolo circoscritto con la stessa altezza e con raggio base il massimo di nell'intervallino.

Per ogni n-esimo intervallo abbiamo un volume del cilindro circoscritto, abbiamo quindi le due successioni

Le due successioni secondo le ipotesi poste in precedenza convergono verso lo stesso limite per , limite che chiamiamo ,

Ricordando che il cilindro ha volume i cilindri generici e hanno volume rispettivamente

se avremo in definitiva, per quanto premesso in precedenza:

da cui

ossia