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Teoremi sui triangoli rettangoli

La trigonometria definisce le relazioni metriche tra i lati e gli angoli di un triangolo; gli elementi di un triangolo sono sei, i lati e gli angoli, se ne sono noti tre e di questi almeno un lato, possiamo risolvere il triangolo, che significa calcolarne tutti gli altri elementi inizialmente non noti.

Per la risoluzione di un triangolo si fa riferimento alle proprietà geometriche di un triangolo qualunque, in sintesi:

  1. la somma degli angoli interni di un triangolo é 180°

  2. in un triangolo ogni lato é minore della somma degli altri due e maggiore della differenza

  3. le relazione di eguaglianza e diseguaglianza che vi sono fra due lati si riflettono anche fra gli angoli rispettivamente opposti, vale a dire che, detti Studenti/matematica e Studenti/matematica due lati e Studenti/matematica e Studenti/matematica gli angoli opposti a tali lati, allore se Studenti/matematica, Studenti/matematica oppure Studenti/matematica, allora vale anche Studenti/matematica, Studenti/matematica, Studenti/matematica.

Passiamo ora ad enunciare e sviluppare due teoremi fondamentali sui triangoli rettangoli.

Teorema 1

In ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto é uguale al prodotto della misura dell’ipotenusa per il seno dell'angolo opposto ad esso o per il coseno dell'angolo acuto ad esso adiacente.

Non possiamo evitare di dare la dimostrazione del teorema che risulta molto utile per chiarirci le idee e per condurci ad una serie di risultati conseguenti molto utili.

Sia Studenti/matematica un triangolo rettangolo in Studenti/matematica e Studenti/matematica, Studenti/matematica, Studenti/matematica. Il triangolo é costruito su di un riferimento cartesiano di origine Studenti/matematica con Studenti/matematica sull'asse positivo delle ascisse.

Poi costruiamo la circonferenza di centro Studenti/matematica e raggio uguale ad 1 (circonferenza goniometrica). Sia Studenti/matematica il punto di intersezione della semiretta di origine Studenti/matematica su cui si trova l'ipotenusa Studenti/matematica con la circonferenza ed Studenti/matematica la proiezione di Studenti/matematica sull'asse Studenti/matematica.

La figura che segue illustra il triangolo e la circonferenza goniometrica che stiamo considerando

Studenti/matematica
1

Indicato con Studenti/matematica l'angolo Studenti/matematica, Le coordinate del punto Studenti/matematica rispetto alla circonferenza goniometrica sono:

Studenti/matematica

si noti che Studenti/matematica è un angolo acuto e le coordinate di Studenti/matematica, trovandosi nel primo quadrante, sono positive. Ne segue pertanto che

Studenti/matematica
2

Osserviamo poi che i triangoli Studenti/matematica e Studenti/matematica sono simili avendo gli angoli congruenti, possiamo porre in proporzione i lati omologhi:

Studenti/matematica
3
Studenti/matematica
4

per la (1), sapendo che Studenti/matematica e considerando la (2) e (3) segue

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Detto Studenti/matematica l’angolo in Studenti/matematica, essendo il triangolo rettangolo in Studenti/matematica, risulterà che

Studenti/matematica

quindi gli angoli Studenti/matematica e Studenti/matematica sono complementari, per cui dalle proprietà delle funzioni goniometriche per gli angoli complementari, ricordiamo che

Studenti/matematica
Studenti/matematica

pertanto

Studenti/matematica
Studenti/matematica

dalle quali possiamo ancora ricavare

Studenti/matematica
Studenti/matematica

il che equivale a dire che in un triangolo rettangolo il seno di un angolo é uguale al rapporto tra il cateto opposto all'angolo stesso e l'ipotenusa.

Inoltre

Studenti/matematica
Studenti/matematica

cioé in un triangolo rettangolo il coseno di un angolo é uguale al rapporto tra il cateto adiacente all'angolo stesso e l'ipotenusa.

Ovviamente, per chiarezza, aggiungiamo

Studenti/matematica

in un triangolo rettangolo l'ipotenusa é uguale al rapporto tra un cateto e il seno dell'angolo opposto o é uguale al rapporto tra un cateto e il coseno dell'angolo acuto adiacente ad esso.

Teorema 2

In ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto é uguale al prodotto della misura dell'altro cateto per la tangente dell'angolo opposto al primo cateto o per la cotangente dell'angolo acuto adiacente al primo cateto.

In questo caso ci limitiamo a dare solo qualche passaggio della dimostrazione.

Analogamente a quanto fatto nei precedenti passaggi, dalla figura (1) possiamo ancora ricavare:

Studenti/matematica

sostituendo abbiamo

Studenti/matematica
Studenti/matematica

ma ricordando che

Studenti/matematica

e ancora per la proprietà degli angoli complementari, si ha

Studenti/matematica

per cui possiamo dire che

Studenti/matematica
Studenti/matematica

da cui ricaviamo

Studenti/matematica
Studenti/matematica

ed anche

Studenti/matematica
Studenti/matematica

che significa dire che in un triangolo rettangolo il rapporto tra due cateti é uguale alla tangente dell'angolo opposto al primo cateto.