In questo modulo introduciamo altri due teoremi della trigonometria, il teorema dei seni, che deriva direttamente dal teorema della corda, ed il teorema delle proiezioni. Entrambi i risultato sono importanti perché forniscono un utile formula per il calcolo di elementi dei triangoli.
Il seguente è detto Teorema dei seni.
Teorema 1
In un triangolo qualsiasi i lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti, pertanto é costante il rapporto tra ciascun lato e il seno dell’angolo opposto.
Vediamo come dimostrare questo risultato. Preso in esame il triangolo 
indichiamo con 
la misura dell’altezza 
relativa a 
, e con 
la misura dell’altezza 
relativa ad 
, come nella figura
Preso in esame il triangolo rettangolo 
scriviamo
allo stesso modo nel triangolo 
abbiamo
ne consegue che:
pertanto
Allo stesso modo se 
la consideriamo un cateto del triangolo 
oppure del triangolo 
abbiamo:
e
ricaviamo
mettendo a confronto la (1) e la (2), possiamo scrivere
che possono anche riscriversi come
In conclusione questo risultato ci permette di affermare che: in un triangolo il rapporto fra due lati é uguale al rapporto fra i seni degli angoli opposti.
Il teorema dei seni può essere anche enunciato nel seguente modo:
In un triangolo, il rapporto fra i lati e i seni degli angoli opposti é uguale al diametro della circonferenza circoscritta.
Infatti, guardando la figura
se applichiamo il teorema della corda ad ogni lato del triangolo inscritto abbiamo:
poiché 2R é il diametro della circonferenza segue:
Passiamo adesso al secondo teorema di questo modulo, il teorema sui triangoli qualunque o teorema delle proiezioni.
Teorema 2
In un triangolo qualsiasi un lato é uguale alla somma dei prodotti degli altri due lati per il coseno dell’angolo che ciascuno di questi forma con il primo lato.
La dimostrazione si basa sulla risoluzione della seguente espressione:
la relazione vale sia se i due angoli sono acuti sia se lo é uno solo dei due.
Analizziamo separatamente i vari casi che si possono presentare
Caso 1
l'altezza del triangolo relativa alla base 
ha estremi 
e 
e poiché
considerando i triangoli 
e 
per il teorema 1 introdotto nel modulo “Teoremi sui triangoli rettangoli” possiamo scrivere:
da cui otteniamo
caso 2:
se 
in questo caso si ha un triangolo del tipo di quello in figura
Conduciamo come si vede in figura la perpendicolare dal vertice 
sul prolungamento del lato 
fino ad incontrarlo in 
. Si ha:
si ha ancora
applicando ancora il teorema 1 introdotto nel modulo dedicato ai Teoremi sui triangoli rettangoli, ai triangoli 
e 
scriviamo:
infine
ottenendo così, equivalentemente al caso 1, la relazione
Lo stesso ragionamento si può replicare partendo dagli altri due vertici, quindi senza ripetere tutto il procedimento, possiamo scriviamo
