In questa sezione illustriamo alcuni importanti teoremi sui limiti, senza darne la dimostrazione.
Teorema 1
Questo teorema prende anche il nome di “Teorema sulla permanenza del segno”.
Data una funzione 
, con 
se
esiste un intorno 
di 
: 
, 
assume lo stesso segno di 
Possiamo anche invertire il teorema precedente, ossia possiamo dire
Teorema 2
Se esiste un intorno 
di 
, privato di 
, in cui risulta 
(
), allora se esiste il limite
avremo 
(
).
Teorema 3
Questo teorema prende anche il nome di “Teorema dell’unicità del limite”.
Una funzione 
, con 
non può avere due limiti distinti in uno stesso punto 
. In altre parole si può anche dire che se una funzione ammette limite per 
tale limite é unico.
Se vogliamo chiarire il teorema dell’unicità del limite, possiamo semplificarlo in questo modo: quando una funzione si “avvicina ad un valore limite” l’intervallo tra il limite ed un punto ad esso vicinissimo non può scindersi e formare due intervalli distinti, rimane unico.
Non diamo una dimostrazione formale di tale teorema ma ci limitiamo a descrivere un metodo, usato frequentemente in matematica, cioè la “dimostrazione per assurdo”: se non vale la tesi (il limite non é unico) allora implica (
) che l’ipotesi non è valida (la funzione non ammette limite in 
).
Supponiamo per assurdo, contro l'ipotesi del teorema (la funzione ammette un solo limite in 
) che esistano due limiti e dimostriamo che in tal caso non può esistere nessun limite.
Siano i due limiti
e
con 
. Poichè abbiamo ipotizzato 
, la loro differenza in valore assoluto sarà la distanza 
. Allora poniamo se
cioè prendiamo 
pari alla metà della distanza, abbiamo risolto il teorema avendo creato un intervallo troppo corto che non può risolvere i due limiti in quanto è impossibile avere contemporaneamente
e
Perchè l'intervallo 
non può risolvere contemporaneamente i due limiti 
ed 
in quanto la loro distanza 
è maggiore di 
quindi non può esistere il limite.
Teorema 4
Questo teorema prende anche il nome di “Teorema del confronto”.
Siano 
, 
, 
, tre funzioni di 
, con 
, se
se ∃ 
di 
per cui risulta, con 
Il teorema precedente ha un’immediata applicazione per la dimostrazione del limite notevole
Teorema 5
Questo teorema prende anche il nome di “Teorema del confronto per il limite infinito”.
Siano 
, 
, due funzioni di 
, con 
, se
se ∃ 
di 
per cui risulta, con 
allora si ha
Infine, enunciamo un altro teorema importante per i suoi aspetti applicativi.
Teorema 6
Sia 
una funzione di 
, con 
, se
ed 
, allora esiste un intorno 
di 
per cui si ha
con 
dove 
e 
sono due opportuni numeri positivi.