In questa sezione illustriamo alcuni importanti teoremi sui limiti, senza darne la dimostrazione.
Teorema 1
Questo teorema prende anche il nome di “Teorema sulla permanenza del segno”.
Data una funzione , con
se

esiste un intorno di
:
,
assume lo stesso segno di
Possiamo anche invertire il teorema precedente, ossia possiamo dire
Teorema 2
Se esiste un intorno di
, privato di
, in cui risulta
(
), allora se esiste il limite

avremo (
).
Teorema 3
Questo teorema prende anche il nome di “Teorema dell’unicità del limite”.
Una funzione , con
non può avere due limiti distinti in uno stesso punto
. In altre parole si può anche dire che se una funzione ammette limite per
tale limite é unico.
Se vogliamo chiarire il teorema dell’unicità del limite, possiamo semplificarlo in questo modo: quando una funzione si “avvicina ad un valore limite” l’intervallo tra il limite ed un punto ad esso vicinissimo non può scindersi e formare due intervalli distinti, rimane unico.
Non diamo una dimostrazione formale di tale teorema ma ci limitiamo a descrivere un metodo, usato frequentemente in matematica, cioè la “dimostrazione per assurdo”: se non vale la tesi (il limite non é unico) allora implica () che l’ipotesi non è valida (la funzione non ammette limite in
).
Supponiamo per assurdo, contro l'ipotesi del teorema (la funzione ammette un solo limite in ) che esistano due limiti e dimostriamo che in tal caso non può esistere nessun limite.
Siano i due limiti

e

con . Poichè abbiamo ipotizzato
, la loro differenza in valore assoluto sarà la distanza
. Allora poniamo se

cioè prendiamo pari alla metà della distanza, abbiamo risolto il teorema avendo creato un intervallo troppo corto che non può risolvere i due limiti in quanto è impossibile avere contemporaneamente

e

Perchè l'intervallo non può risolvere contemporaneamente i due limiti
ed
in quanto la loro distanza
è maggiore di
quindi non può esistere il limite.
Teorema 4
Questo teorema prende anche il nome di “Teorema del confronto”.
Siano ,
,
, tre funzioni di
, con
, se

se ∃ di
per cui risulta, con


Il teorema precedente ha un’immediata applicazione per la dimostrazione del limite notevole

Teorema 5
Questo teorema prende anche il nome di “Teorema del confronto per il limite infinito”.
Siano ,
, due funzioni di
, con
, se

se ∃ di
per cui risulta, con

allora si ha

Infine, enunciamo un altro teorema importante per i suoi aspetti applicativi.
Teorema 6
Sia una funzione di
, con
, se

ed , allora esiste un intorno
di
per cui si ha

con dove
e
sono due opportuni numeri positivi.