Introduciamo qui un altro teorema, noto come Teorema del coseno o Teorema di Carnot, importante per la risoluzione di problemi di trigonometria legati alle proprietà dei triangoli qualsiasi.
Teorema 1
In un triangolo qualsiasi il quadrato di un lato é uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati diminuita del doppio prodotto di questi due lati per il coseno dell’angolo che essi formano.
Vediamone una breve dimostrazione, nei due casi in cui uno degli angoli alla base sia acuto oppure ottuso.
Consideriamo il triangolo , indicata con h l'altezza
relativa ad
, siano
ed
le misure di
e
, rispettivamente, nel caso in cui l’angolo
in
sia acuto, come indicato in figura

Applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo , per cui si ha:

poi per il teorema 1 introdotto nel modulo dedicati ai Teoremi sui triangoli rettangoli, applicato al triangolo si ha:


quindi

operando una sostituzione nella (1) si ha:



ma

quindi

che conferma l’enunciato del teorema.
Adesso, esaminiamo il caso in cui l’angolo in
sia ottuso. Ancora indichiamo con
la misura di
ed
la misura di
, questa volta saranno come in figura

quindi risulta . Si nota, inoltre, che anche in questo caso vale la formula 1 ossia
, per cui possiamo procedere, analogamente a quanto fatto per il caso precedente, applicando il teorema 2 introdotto nel modulo dedicato ai Teoremi sui triangoli rettangoli, al triangolo
avremo:


e sapendo che

scriviamo

sostituendo nella (1)

e sviluppando troviamo ancora la (2) precedentemente ricavata

Allo stesso modo ricaviamo le relazioni per gli altri lati b e c, riepilogando:


Una relazione utile nelle applicazioni si ottiene dalle formule inverse delle (3), (4) e (5) che consentono di trovare i valori degli angoli di un triangolo conoscendo le misure dei tre lati:



NOTA. Se il triangolo é rettangolo le (3), (4) e (5) si riducono al teorema di Pitagora.