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Teorema di Carnot

Introduciamo qui un altro teorema, noto come Teorema del coseno o Teorema di Carnot, importante per la risoluzione di problemi di trigonometria legati alle proprietà dei triangoli qualsiasi.

Teorema 1

In un triangolo qualsiasi il quadrato di un lato é uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati diminuita del doppio prodotto di questi due lati per il coseno dell’angolo che essi formano.

Vediamone una breve dimostrazione, nei due casi in cui uno degli angoli alla base sia acuto oppure ottuso.

Consideriamo il triangolo Studenti/matematica, indicata con h l'altezza Studenti/matematica relativa ad Studenti/matematica, siano Studenti/matematica ed Studenti/matematica le misure di Studenti/matematica e Studenti/matematica, rispettivamente, nel caso in cui l’angolo Studenti/matematica in Studenti/matematica sia acuto, come indicato in figura

Studenti/matematica

Applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo Studenti/matematica, per cui si ha:

Studenti/matematica
1

poi per il teorema 1 introdotto nel modulo dedicati ai Teoremi sui triangoli rettangoli, applicato al triangolo Studenti/matematica si ha:

Studenti/matematica
Studenti/matematica

quindi

Studenti/matematica

operando una sostituzione nella (1) si ha:

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

ma

Studenti/matematica

quindi

Studenti/matematica
2

che conferma l’enunciato del teorema.

Adesso, esaminiamo il caso in cui l’angolo Studenti/matematica in Studenti/matematica sia ottuso. Ancora indichiamo con Studenti/matematica la misura di Studenti/matematica ed Studenti/matematica la misura di Studenti/matematica, questa volta saranno come in figura

Studenti/matematica

quindi risulta Studenti/matematica. Si nota, inoltre, che anche in questo caso vale la formula 1 ossia Studenti/matematica, per cui possiamo procedere, analogamente a quanto fatto per il caso precedente, applicando il teorema 2 introdotto nel modulo dedicato ai Teoremi sui triangoli rettangoli, al triangolo Studenti/matematica avremo:

Studenti/matematica
Studenti/matematica

e sapendo che

Studenti/matematica

scriviamo

Studenti/matematica

sostituendo nella (1)

Studenti/matematica

e sviluppando troviamo ancora la (2) precedentemente ricavata

Studenti/matematica
3

Allo stesso modo ricaviamo le relazioni per gli altri lati b e c, riepilogando:

Studenti/matematica
4
Studenti/matematica
5

Una relazione utile nelle applicazioni si ottiene dalle formule inverse delle (3), (4) e (5) che consentono di trovare i valori degli angoli di un triangolo conoscendo le misure dei tre lati:

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

NOTA. Se il triangolo é rettangolo le (3), (4) e (5) si riducono al teorema di Pitagora.