Introduciamo qui un altro teorema, noto come Teorema del coseno o Teorema di Carnot, importante per la risoluzione di problemi di trigonometria legati alle proprietà dei triangoli qualsiasi.
Teorema 1
In un triangolo qualsiasi il quadrato di un lato é uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati diminuita del doppio prodotto di questi due lati per il coseno dell’angolo che essi formano.
Vediamone una breve dimostrazione, nei due casi in cui uno degli angoli alla base sia acuto oppure ottuso.
Consideriamo il triangolo 
, indicata con h l'altezza 
relativa ad 
, siano 
ed 
le misure di 
e 
, rispettivamente, nel caso in cui l’angolo 
in 
sia acuto, come indicato in figura
Applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo 
, per cui si ha:
poi per il teorema 1 introdotto nel modulo dedicati ai Teoremi sui triangoli rettangoli, applicato al triangolo 
si ha:
quindi
operando una sostituzione nella (1) si ha:
ma
quindi
che conferma l’enunciato del teorema.
Adesso, esaminiamo il caso in cui l’angolo 
in 
sia ottuso. Ancora indichiamo con 
la misura di 
ed 
la misura di 
, questa volta saranno come in figura
quindi risulta 
. Si nota, inoltre, che anche in questo caso vale la formula 1 ossia 
, per cui possiamo procedere, analogamente a quanto fatto per il caso precedente, applicando il teorema 2 introdotto nel modulo dedicato ai Teoremi sui triangoli rettangoli, al triangolo 
avremo:
e sapendo che
scriviamo
sostituendo nella (1)
e sviluppando troviamo ancora la (2) precedentemente ricavata
Allo stesso modo ricaviamo le relazioni per gli altri lati b e c, riepilogando:
Una relazione utile nelle applicazioni si ottiene dalle formule inverse delle (3), (4) e (5) che consentono di trovare i valori degli angoli di un triangolo conoscendo le misure dei tre lati:
NOTA. Se il triangolo é rettangolo le (3), (4) e (5) si riducono al teorema di Pitagora.