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Teorema della media

Un’importante proprietà dell’integrale definito di cui diamo una semplice dimostrazione é la proprietà o teorema della media.

Teorema

Se Studenti/matematica é una funzione continua in Studenti/matematica, e Studenti/matematica un opportuno punto di Studenti/matematica si ha allora:

Studenti/matematica
1

Dimostrazione. Indichiamo con Studenti/matematica e Studenti/matematica il minimo ed il massimo di Studenti/matematica, non negativa in Studenti/matematica, tenendo conto del significato geometrico dell'integrale definito come area di un rettangoloide possiamo scrivere

Studenti/matematica

da cui abbiamo

Studenti/matematica

ma il rapporto

Studenti/matematica

é un numero compreso tra il minimo Studenti/matematica ed il massimo Studenti/matematica di Studenti/matematica, per il teorema dei valori intermedi (una funzione continua in un intervallo Studenti/matematica limitato assume tutti i valori compresi tra il minimo Studenti/matematica ed il massimo Studenti/matematica), esiste almeno un punto Studenti/matematica in cui la funzione assume tale valore, in definitiva avremo

Studenti/matematica
2

Se consideriamo una funzione non negativa, tale cioè che Studenti/matematica, allora è facile intuire che il valore della Studenti/matematica dato dalla (2) rappresenta l’altezza del rettangolo di base Studenti/matematica ed equivalente al trapezoide (rettangoloide) Studenti/matematica; é questa le ragione per cui Studenti/matematica viene chiamato valore medio di Studenti/matematica in Studenti/matematica.