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Teorema de l'Hopital

Lo studio delle forme indeterminate già affrontato nel modulo relativo ai limiti, può essere semplificato utilizzando le derivate nella regola de l’Hopital che stabilisce una condizione sufficiente per l’esistenza del limite del rapporto Studenti/matematica quando Studenti/matematica tende ad Studenti/matematica e le funzioni sono uguali a zero.

Enunciamo adesso il teorema noto come Teorema de L’Hopital

Teorema

Siano Studenti/matematica e Studenti/matematica due funzioni continue in Studenti/matematica e derivabili nell’intervallo aperto Studenti/matematica escluso Studenti/matematica e sia Studenti/matematica.

Se esiste finito il limite

Studenti/matematica

allora esiste il limite

Studenti/matematica

e si ha:

Studenti/matematica

Vale un teorema simile anche per la forma indeterminata Studenti/matematica.

Aggiungiamo che tenendo conto delle stesse ipotesi introdotte per il teorema precedente abbiamo che:

se

Studenti/matematica

allora

Studenti/matematica

Risulta chiaro dai due risultati sopra introdotti, che la regola de l’Hopital può essere di aiuto nel calcolo di vari limiti di quozienti di funzioni reali che portano a forme indeterminate del tipo Studenti/matematica oppure Studenti/matematica. Faccio un esempio

Esempio

Consideriamo la funzione Studenti/matematica e calcoliamone il limite per Studenti/matematica che tende a Studenti/matematica

Studenti/matematica

riscriviamo la funzione come

Studenti/matematica

Proviamo a scomporre il limite nel seguente modo

Studenti/matematica

per cui sostituendo il valore -∞ nei due limiti si ottiene

Studenti/matematica

che conduce ad una forma indeterminata

Studenti/matematica

Dunque possiamo provare ad applicare il teorema de l’Hopital al limite

Studenti/matematica

che conduce alla forma indeterminata Studenti/matematica. Considerando che il limite della somma si può avere come somma dei limiti, tralasciamo il termine 1 e riscriviamo

Studenti/matematica

come

Studenti/matematica

e calcoliamo le derivate del numerato e del denominatore

Studenti/matematica
Studenti/matematica

così otteniamo

Studenti/matematica
Studenti/matematica

da cui ritornando alla funzione di partenza

Studenti/matematica

possiamo dire che la forma indeterminata

Studenti/matematica

tramite la regola de l’Hopital si può ricondurre alla forma

Studenti/matematica

concludendo così che

Studenti/matematica

verifichiamo con il grafico della funzione

Studenti/matematica