Lo studio delle forme indeterminate già affrontato nel modulo relativo ai limiti, può essere semplificato utilizzando le derivate nella regola de l’Hopital che stabilisce una condizione sufficiente per l’esistenza del limite del rapporto quando
tende ad
e le funzioni sono uguali a zero.
Enunciamo adesso il teorema noto come Teorema de L’Hopital
Teorema
Siano e
due funzioni continue in
e derivabili nell’intervallo aperto
escluso
e sia
.
Se esiste finito il limite

allora esiste il limite

e si ha:

Vale un teorema simile anche per la forma indeterminata .
Aggiungiamo che tenendo conto delle stesse ipotesi introdotte per il teorema precedente abbiamo che:
se

allora

Risulta chiaro dai due risultati sopra introdotti, che la regola de l’Hopital può essere di aiuto nel calcolo di vari limiti di quozienti di funzioni reali che portano a forme indeterminate del tipo oppure
. Faccio un esempio
Esempio
Consideriamo la funzione e calcoliamone il limite per
che tende a

riscriviamo la funzione come

Proviamo a scomporre il limite nel seguente modo

per cui sostituendo il valore -∞ nei due limiti si ottiene

che conduce ad una forma indeterminata

Dunque possiamo provare ad applicare il teorema de l’Hopital al limite

che conduce alla forma indeterminata . Considerando che il limite della somma si può avere come somma dei limiti, tralasciamo il termine 1 e riscriviamo

come

e calcoliamo le derivate del numerato e del denominatore


così otteniamo


da cui ritornando alla funzione di partenza

possiamo dire che la forma indeterminata

tramite la regola de l’Hopital si può ricondurre alla forma

concludendo così che

verifichiamo con il grafico della funzione
