In altri moduli abbiamo affrontato il problema della intersezione tra una generica retta e la circonferenza. In questo, invece, approfondiamo alcuni aspetti relativi alle rette tangenti ad una circonferenza. Iniziamo considerando come determinare le tangenti ad una circonferenza a partire da un punto esterno alla circonferenza stessa.

Sia una circonferenza di equazione

e un punto esterno ad essa, come mostrato in figura

Intuitivamente, possiamo comprendere che se costruiamo un fascio di rette con centro in ci saranno delle rette del fascio che saranno tangenti alla circonferenza, delle rette che saranno secanti e altre ancora che saranno incidenti.

Esaminiamo queste possibilità da un punto di vista analitico, ossia cerchiamo come determinare il coefficiente angolare del fascio affinche si individuino le tre tipologie di rette sopra citate.

Si noti che detto un generico punto, non abbiamo espresso alcuna condizione formale affinché questo punto sia effettivamente esterno alla circonferenza . Dunque, nel procedere vedremo che le soluzioni potranno essere tre:

• è esterno alla circonferenza (e troveremo esattamente due rette tangenti alla circonferenza)

• appartiene alla circonferenza (e troveremo una sola retta tangente alla circonferenza)

• è interno alla circonferenza (non esistono tangenti alla circonferenza per )

Si procede costruendo il sistema tra l’equazione della circonferenza e quella del fascio di rette con centro in .

Il fascio di centro ha equazione

per cui il sistema risulta

Ricavando la dalla seconda equazione e sostituendola nella prima, otteniamo un’equazione di secondo grado (detta equazione risolvente) in con coefficienti espressi in funzione di . Imponiamo ora la condizione che il discriminante dell’equazione risolvente ammetta una radice doppia cioé . In pratica stiamo imponendo la condizione che il punto sia sulla circonferenza, perché se abbiamo una sola radice vuol dire che esiste un unico che soddisfa la condizione .

Da questa condizione deriva un’altra equazione di secondo grado, questa volta rispetto ad .

Pertanto, per risolvere questa ulteriore equazione andiamo a calcolare il suo discriminante, che chiameremo .

A questo punto al variare dei casi su avremo i tre casi sul punto rispetto alla circonferenza, ma nel contempo avremo anche i valori di che ci riconducono ai tre casi delle rette del fascio rispetto alla circonferenza (esterne, tangenti, incidenti).

Vediamo in dettagli i casi del :

1. , abbiamo due radici reali e coincidenti, chiamiamole , che annullano il Δ. Quindi, esiste una sola tangente ad che passa da . L’unica condizione che rendere possibile tale caso è che il punto sia appartenente alla circonferenza.

2. , abbiamo due radici reali e distinte, chiamiamole ed , che annullano il Δ. Quindi, esistono due distinte tangenti alla circonferenza. Si ricava che il punto é effettivamente esterno a .

3. , non abbiamo radici reali quindi il Δ non si annulla mai, in pratica non vi sono tangenti. Risulta facile comprendere che l’unica possibilità per questo caso è che il punto sia interno alla circonferenza.

Descriviamo anche un metodo alternativo, che spesso comporta l’esecuzione di meno calcoli ed anche più semplici.

Scriviamo l’equazione della generica retta per

scriviamola in forma implicita

Indichiamo con il centro della circonferenza ed imponiamo la condizione che la distanza della retta dal centro sia pari ad (il raggio è noto se è nota l’equazione della circonferenza).

Ricordiamo qui la formula per il calcolo della distanza tra un punto ed una retta di equazione

Questa condizione implica che il punto di contatti tra la retta e la circonferenza sia proprio di tangenza. In pratica si ricava un'equazione di secondo grado in , dello stesso tipo di quella determinata nel modo precedente. Anche in questo caso poniamo e risolviamo rispetto ad . Ci troviamo a questo punto nella condizione proposta in precedenza.

Esempio

Dato un punto condurre da esso le tangenti alla circonferenza di equazione

Ricordiamo che le coordinate del centro si possono calcolare a partire dall’equazione, come

mentre il raggio è

Quindi il centro risulta essere e il raggio misura 4

Scriviamo l’equazione della retta per

Adesso, utilizzando la (2) imponiamo che la distanza tra la retta ed il centro della circonferenza sia uguale ad .

questa equazione va risolta come una equazione irrazionale, dovremmo verificare l'accettabilità delle soluzioni ma ci asteniamo, quindi possiamo elevare entrambi i membri al quadrato ed otteniamo

che ha due soluzioni reali e distinte

Concludendo, abbiamo individuato le due tangenti alla circonferenza, che hanno equazioni