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Tangenti da un punto a una circonferenza

In altri moduli abbiamo affrontato il problema della intersezione tra una generica retta e la circonferenza. In questo, invece, approfondiamo alcuni aspetti relativi alle rette tangenti ad una circonferenza. Iniziamo considerando come determinare le tangenti ad una circonferenza a partire da un punto esterno alla circonferenza stessa.

Sia Studenti/matematica una circonferenza di equazione

Studenti/matematica

e Studenti/matematica un punto esterno ad essa, come mostrato in figura

Studenti/matematica

Intuitivamente, possiamo comprendere che se costruiamo un fascio di rette con centro in Studenti/matematica ci saranno delle rette del fascio che saranno tangenti alla circonferenza, delle rette che saranno secanti e altre ancora che saranno incidenti.

Esaminiamo queste possibilità da un punto di vista analitico, ossia cerchiamo come determinare il coefficiente angolare Studenti/matematica del fascio affinche si individuino le tre tipologie di rette sopra citate.

Si noti che detto Studenti/matematica un generico punto, non abbiamo espresso alcuna condizione formale affinché questo punto sia effettivamente esterno alla circonferenza Studenti/matematica. Dunque, nel procedere vedremo che le soluzioni potranno essere tre:

  • Studenti/matematica è esterno alla circonferenza (e troveremo esattamente due rette tangenti alla circonferenza)

  • Studenti/matematica appartiene alla circonferenza (e troveremo una sola retta tangente alla circonferenza)

  • Studenti/matematica è interno alla circonferenza (non esistono tangenti alla circonferenza per Studenti/matematica)

Si procede costruendo il sistema tra l’equazione della circonferenza e quella del fascio di rette con centro in Studenti/matematica.

Il fascio di centro Studenti/matematica ha equazione

Studenti/matematica

per cui il sistema risulta

Studenti/matematica
1

Ricavando la Studenti/matematica dalla seconda equazione e sostituendola nella prima, otteniamo un’equazione di secondo grado (detta equazione risolvente) in Studenti/matematica con coefficienti espressi in funzione di Studenti/matematica. Imponiamo ora la condizione che il discriminante dell’equazione risolvente ammetta una radice doppia cioé Studenti/matematica. In pratica stiamo imponendo la condizione che il punto Studenti/matematica sia sulla circonferenza, perché se abbiamo una sola radice vuol dire che esiste un unico Studenti/matematica che soddisfa la condizione Studenti/matematica.

Da questa condizione deriva un’altra equazione di secondo grado, questa volta rispetto ad Studenti/matematica.

Pertanto, per risolvere questa ulteriore equazione andiamo a calcolare il suo discriminante, che chiameremo Studenti/matematica.

A questo punto al variare dei casi su Studenti/matematica avremo i tre casi sul punto Studenti/matematica rispetto alla circonferenza, ma nel contempo avremo anche i valori di Studenti/matematica che ci riconducono ai tre casi delle rette del fascio rispetto alla circonferenza (esterne, tangenti, incidenti).

Vediamo in dettagli i casi del Studenti/matematica:

  1. Studenti/matematica, abbiamo due radici reali e coincidenti, chiamiamole Studenti/matematica, che annullano il Δ. Quindi, esiste una sola tangente ad Studenti/matematica che passa da Studenti/matematica. L’unica condizione che rendere possibile tale caso è che il punto Studenti/matematica sia appartenente alla circonferenza.

  2. Studenti/matematica, abbiamo due radici reali e distinte, chiamiamole Studenti/matematica ed Studenti/matematica, che annullano il Δ. Quindi, esistono due distinte tangenti alla circonferenza. Si ricava che il punto Studenti/matematica é effettivamente esterno a Studenti/matematica.

  3. Studenti/matematica, non abbiamo radici reali quindi il Δ non si annulla mai, in pratica non vi sono tangenti. Risulta facile comprendere che l’unica possibilità per questo caso è che il punto Studenti/matematica sia interno alla circonferenza.

Descriviamo anche un metodo alternativo, che spesso comporta l’esecuzione di meno calcoli ed anche più semplici.

Scriviamo l’equazione della generica retta per Studenti/matematica

Studenti/matematica

scriviamola in forma implicita

Studenti/matematica

Indichiamo con Studenti/matematica il centro della circonferenza ed imponiamo la condizione che la distanza della retta dal centro Studenti/matematica sia pari ad Studenti/matematica (il raggio è noto se è nota l’equazione della circonferenza).

Ricordiamo qui la formula per il calcolo della distanza tra un punto ed una retta di equazione Studenti/matematica

Studenti/matematica
2

Questa condizione implica che il punto di contatti tra la retta e la circonferenza sia proprio di tangenza. In pratica si ricava un'equazione di secondo grado in Studenti/matematica, dello stesso tipo di quella determinata nel modo precedente. Anche in questo caso poniamo Studenti/matematica e risolviamo rispetto ad Studenti/matematica. Ci troviamo a questo punto nella condizione proposta in precedenza.

Esempio

Dato un punto Studenti/matematica condurre da esso le tangenti alla circonferenza di equazione

Studenti/matematica

Ricordiamo che le coordinate del centro si possono calcolare a partire dall’equazione, come

Studenti/matematica
Studenti/matematica

mentre il raggio è

Studenti/matematica

Quindi il centro risulta essere Studenti/matematica e il raggio misura 4

Scriviamo l’equazione della retta per Studenti/matematica

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Adesso, utilizzando la (2) imponiamo che la distanza tra la retta ed il centro della circonferenza sia uguale ad Studenti/matematica.

Studenti/matematica
Studenti/matematica

questa equazione va risolta come una equazione irrazionale, dovremmo verificare l'accettabilità delle soluzioni ma ci asteniamo, quindi possiamo elevare entrambi i membri al quadrato ed otteniamo

Studenti/matematica
Studenti/matematica

che ha due soluzioni reali e distinte

Studenti/matematica

Concludendo, abbiamo individuato le due tangenti alla circonferenza, che hanno equazioni

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica