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Sistemi lineari e sistemi omogenei

Un sistema di equazioni lineari è un insieme di Studenti/matematica equazioni lineari in Studenti/matematica incognite, che può essere scritto come segue:

Studenti/matematica
1

Indicata con

Studenti/matematica

la matrice dei coefficienti, con Studenti/matematica il vettore di componenti Studenti/matematica e Studenti/matematica il vettore dei termini noti Studenti/matematica, il sistema (1), ricordando l'operazione di prodotto righe per colonne, può essere scritto nella forma vettoriale:

Studenti/matematica

Ad esempio, considerato il sistema di equazioni lineari Studenti/matematica

Studenti/matematica
2

individuando la matrice dei coefficienti Studenti/matematica, il vettore delle soluzioni Studenti/matematica ed il vettore dei termini noti Studenti/matematica, esso può essere scritto in forma vettoriale come segue:

Studenti/matematica
3

Al contrario, a partire dalla (3), applicando l’operazione di prodotto righe per colonne, si ottiene il sistema (2)

Studenti/matematica

da cui ricaviamo

Studenti/matematica

Se il sistema (1) ammette soluzioni, cioè se esistono Studenti/matematica di numeri Studenti/matematica che soddisfano tutte le equazioni del sistema, questo si dice compatibile. Se non esistono soluzioni, il sistema si dice incompatibile.

Un sistema compatibile che ammetta una sola soluzione si dice determinato.

Si consideri ora il sistema di equazioni lineari espresso nella forma vettoriale (1). Se il vettore dei termini noti Studenti/matematica coincide con il vettore nullo, allora il sistema si dice omogeneo

Studenti/matematica

È banale osservare che i sistemi omogenei sono compatibili in quanto ammettono almeno la soluzione nulla

Studenti/matematica