Un sistema di equazioni lineari è un insieme di equazioni lineari in incognite, che può essere scritto come segue:

Indicata con

la matrice dei coefficienti, con il vettore di componenti e il vettore dei termini noti , il sistema (1), ricordando l'operazione di prodotto righe per colonne, può essere scritto nella forma vettoriale:

Ad esempio, considerato il sistema di equazioni lineari

individuando la matrice dei coefficienti , il vettore delle soluzioni ed il vettore dei termini noti , esso può essere scritto in forma vettoriale come segue:

Al contrario, a partire dalla (3), applicando l’operazione di prodotto righe per colonne, si ottiene il sistema (2)

da cui ricaviamo

Se il sistema (1) ammette soluzioni, cioè se esistono di numeri che soddisfano tutte le equazioni del sistema, questo si dice compatibile. Se non esistono soluzioni, il sistema si dice incompatibile.

Un sistema compatibile che ammetta una sola soluzione si dice determinato.

Si consideri ora il sistema di equazioni lineari espresso nella forma vettoriale (1). Se il vettore dei termini noti coincide con il vettore nullo, allora il sistema si dice omogeneo

È banale osservare che i sistemi omogenei sono compatibili in quanto ammettono almeno la soluzione nulla