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Significato geometrico di derivata, equazione della tangente a una curva

Il significato geometrico di derivata è un passo fondamentale per la comprensione del concetto di derivata, che insieme al concetto di integrale rappresentano una parte importante di tutta l’analisi matematica ed il calcolo infinitesimale.

Significato geometrico di derivata

Vediamo in questo paragrafo qual’è il significato geometrico di derivata.

Sia Studenti/matematica una funzione definita in un intervallo Studenti/matematica aperto, consideriamo Studenti/matematicae Studenti/matematica (Studenti/matematica si chiama incremento) due punti di Studenti/matematica. Quando Studenti/matematica passa da Studenti/matematica a Studenti/matematica la funzione Studenti/matematica passa da Studenti/matematica a Studenti/matematica

Studenti/matematica
1

le differenze

Studenti/matematica

e

Studenti/matematica

si dicono rispettivamente incremento della variabile indipendente e incremento della variabile dipendente Studenti/matematica o della funzione Studenti/matematica.

Avendo considerato Studenti/matematica come assegnato, il rapporto:

Studenti/matematica
1

dipende da Studenti/matematica e non da Studenti/matematica, esso rappresenta l'incremento della Studenti/matematica rispetto all'incremento Studenti/matematica della variabile indipendente Studenti/matematica e prende il nome di rapporto incrementale.

Osservando la figura (1) si perviene facilmente alla seguente definizione

Definizione

Una funzione si dice derivabile in Studenti/matematica se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale in Studenti/matematica, vale a dire:

Studenti/matematica
Studenti/matematica

tale limite si chiama derivata prima o derivata di Studenti/matematica nel punto Studenti/matematica.

Da questa ne consegue un’altra

Definizione

Quando la funzione Studenti/matematica é derivabile in tutti i punti di Studenti/matematica si dice derivabile in un intervallo.

I simboli usati per indicare la derivata di una funzione Studenti/matematica sono diversi, alcuni sono:

Studenti/matematica

Una funzione Studenti/matematica é derivabile in un punto Studenti/matematicase si verificano le seguenti condizioni:

  1. la Studenti/matematica é definita in un intorno Studenti/matematica di Studenti/matematica

  2. per Studenti/matematica (da sinistra e da destra) esiste il limite del rapporto (1);

  3. che tale limite sia finito.

Equazione della tangente a una curva

Prendiamo ora in esame la seguente figura

Studenti/matematica
2

fissato Studenti/matematicaconsideriamo la secante Studenti/matematicadi equazione:

Studenti/matematica

Al tendere di Studenti/matematica a zero, il punto Studenti/matematica si sposta sulla curva avvicinandosi a Studenti/matematica

Precisiamo che il rapporto incrementale di Studenti/matematica relativo a Studenti/matematica e all'incremento Studenti/matematica é il coefficiente angolare della retta passante per i punti di coordinate

Studenti/matematica

Quindi possiamo scrivere

Studenti/matematica

Se la Studenti/matematica é derivabile in Studenti/matematicaallora esiste ed é finito il limite

Studenti/matematica

pertanto il coefficiente angolare di Studenti/matematicatende a quello della retta Studenti/matematica di equazione:

Studenti/matematica
2

Quindi la retta Studenti/matematica può considerarsi come il limite delle varie posizioni delle secanti al variare di Studenti/matematica man mano che si avvicina a Studenti/matematica lungo la curva Studenti/matematica. Ne consegue che la retta Studenti/matematica, di cui la (2) rappresenta l’equazione, è la retta tangente alla curva Studenti/matematica in Studenti/matematica.

In conclusione, da un punto di vista geometrico dire che una funzione Studenti/matematica è derivabile in Studenti/matematicasignifica dire che: la retta tangente al grafico di Studenti/matematica in Studenti/matematica esiste ed é unica ed inoltre essendo Studenti/matematica un numero, ne consegue che tale retta non é parallela all’asse Studenti/matematica ed il valore della derivata é uguale alla tangente goniometrica dell’angolo Studenti/matematica che viene a formarsi tra la retta tangente e la direzione positiva dell’asse Studenti/matematica, come si vede nella figura (2).