Il significato geometrico di derivata è un passo fondamentale per la comprensione del concetto di derivata, che insieme al concetto di integrale rappresentano una parte importante di tutta l’analisi matematica ed il calcolo infinitesimale.
Significato geometrico di derivata
Vediamo in questo paragrafo qual’è il significato geometrico di derivata.
Sia una funzione definita in un intervallo
aperto, consideriamo
e
(
si chiama incremento) due punti di
. Quando
passa da
a
la funzione
passa da
a

le differenze

e

si dicono rispettivamente incremento della variabile indipendente e incremento della variabile dipendente o della funzione
.
Avendo considerato come assegnato, il rapporto:

dipende da e non da
, esso rappresenta l'incremento della
rispetto all'incremento
della variabile indipendente
e prende il nome di rapporto incrementale.
Osservando la figura (1) si perviene facilmente alla seguente definizione
Definizione
Una funzione si dice derivabile in se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale in
, vale a dire:


tale limite si chiama derivata prima o derivata di nel punto
.
Da questa ne consegue un’altra
Definizione
Quando la funzione é derivabile in tutti i punti di
si dice derivabile in un intervallo.
I simboli usati per indicare la derivata di una funzione sono diversi, alcuni sono:

Una funzione é derivabile in un punto
se si verificano le seguenti condizioni:
-
la
é definita in un intorno
di
-
per
(da sinistra e da destra) esiste il limite del rapporto (1);
-
che tale limite sia finito.
Equazione della tangente a una curva
Prendiamo ora in esame la seguente figura

fissato consideriamo la secante
di equazione:

Al tendere di a zero, il punto
si sposta sulla curva avvicinandosi a
Precisiamo che il rapporto incrementale di relativo a
e all'incremento
é il coefficiente angolare della retta passante per i punti di coordinate

Quindi possiamo scrivere

Se la é derivabile in
allora esiste ed é finito il limite

pertanto il coefficiente angolare di tende a quello della retta
di equazione:

Quindi la retta può considerarsi come il limite delle varie posizioni delle secanti al variare di
man mano che si avvicina a
lungo la curva
. Ne consegue che la retta
, di cui la (2) rappresenta l’equazione, è la retta tangente alla curva
in
.
In conclusione, da un punto di vista geometrico dire che una funzione è derivabile in
significa dire che: la retta tangente al grafico di
in
esiste ed é unica ed inoltre essendo
un numero, ne consegue che tale retta non é parallela all’asse
ed il valore della derivata é uguale alla tangente goniometrica dell’angolo
che viene a formarsi tra la retta tangente e la direzione positiva dell’asse
, come si vede nella figura (2).