Significato geometrico di derivata

Vediamo in questo paragrafo qual’è il significato geometrico di derivata.

Sia una funzione definita in un intervallo aperto, consideriamo e ( si chiama incremento) due punti di . Quando passa da a la funzione passa da a

le differenze

e

si dicono rispettivamente incremento della variabile indipendente e incremento della variabile dipendente o della funzione .

Avendo considerato come assegnato, il rapporto:

dipende da e non da , esso rappresenta l'incremento della rispetto all'incremento della variabile indipendente e prende il nome di rapporto incrementale.

Osservando la figura (1) si perviene facilmente alla seguente definizione

Definizione

Una funzione si dice derivabile in se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale in , vale a dire:

tale limite si chiama derivata prima o derivata di nel punto .

Da questa ne consegue un’altra

I simboli usati per indicare la derivata di una funzione sono diversi, alcuni sono:

Una funzione é derivabile in un punto se si verificano le seguenti condizioni:

1. la é definita in un intorno di

2. per (da sinistra e da destra) esiste il limite del rapporto (1);

3. che tale limite sia finito.

Equazione della tangente a una curva

Prendiamo ora in esame la seguente figura

fissato consideriamo la secante di equazione:

Al tendere di a zero, il punto si sposta sulla curva avvicinandosi a

Precisiamo che il rapporto incrementale di relativo a e all'incremento é il coefficiente angolare della retta passante per i punti di coordinate

Quindi possiamo scrivere

Se la é derivabile in allora esiste ed é finito il limite

pertanto il coefficiente angolare di tende a quello della retta di equazione:

Quindi la retta può considerarsi come il limite delle varie posizioni delle secanti al variare di man mano che si avvicina a lungo la curva . Ne consegue che la retta , di cui la (2) rappresenta l’equazione, è la retta tangente alla curva in .

In conclusione, da un punto di vista geometrico dire che una funzione è derivabile in significa dire che: la retta tangente al grafico di in esiste ed é unica ed inoltre essendo un numero, ne consegue che tale retta non é parallela all’asse ed il valore della derivata é uguale alla tangente goniometrica dell’angolo che viene a formarsi tra la retta tangente e la direzione positiva dell’asse , come si vede nella figura (2).