Il metodo di Gauss rappresenta un metodo alternativo a quello di Cramer, utilizzato per la risoluzione di un sistema di equazioni in incognite e si basa sull’osservazione che, in un sistema la cui matrice dei coefficienti è triagolare inferiore, è possibile ricavare il valore delle incognite a partire dall’ultima equazione e quindi, con sostituzioni successive, ricavare le altre incognite del sistema.

Si consideri, ad esempio, il sistema

La terza equazione fornisce già il valore dell’incognita .

Applicando il metodo di sostituzione, dalla seconda equazione si ottiene

da cui si ricava

e sostituendo ancora nella prima equazione i valori di e individuati si ha

Il metodo di Gauss consiste nel trasformare ogni sistema in un equivalente sistema triangolare.

Esaminiamo adesso più in dettaglio questo metodo nel caso di un generico sistema di tre equazioni in tre incognite.

Si consideri il sistema

si moltiplichi la prima equazione per e la seconda per e si sottragga la seconda dalla prima. L’equazione che così si ottiene non ha più il termine in .

Passo 1)

notiamo come il termine in scompare perché dalle operazioni eseguite ne consegue che i coefficienti dei due termini in sono opposti. Facendo alcune semplici messe in evidenza e ponendo

si può scrivere

Passo 2)

Analogamente, si moltiplichi la prima equazione per e la terza per e si sottragga la terza dalla prima. L’equazione ottenuta è anch’essa priva del termine in .

nuovamente, ponendo

possiamo scrivere

Con le due operazioni indicate si è trasformato il sistema di partenza in un altro equivalente, nel quale tuttavia la seconda e la terza equazione non contengono più l’incognita

Naturalmente i coefficienti sono diversi dai precedenti . A questo punto si moltiplichi la seconda equazione per e la terza per e si sottragga la terza dalla seconda; l’equazione che così si ottiene non ha più neanche l’incognita : si tratta di un’equazione nella sola . Procedendo nuovamente con i passi 1 e 2 si giunge a

per cui si può scrivere

Il sistema, quindi, si presenta nella forma triangolare superiore

Pertanto, applicando il metodo di sostituzione, così come mostrato nell’esempio precedente, si può ricavare dalla terza equazione, dalla seconda equazione ed dalla prima equazione, purchè i coefficienti , e siano diversi da zero.

Esempio 1

Si consideri il sistema

Si proceda con l’eliminazione del termine in dalla seconda equazione. Ciò si può ottenere moltiplicando per 4 la prima equazione, per 1 la seconda equazione e sottraendo dalla prima la seconda:

Per eliminare il termine in dalla terza equazione si moltiplichi per 2 la prima equazione, per 1 la terza equazione e, sottraendo la terza dalla prima, si ottiene

Il sistema (1) si è così ridotto al sistema equivalente

Procediamo ora con l’eliminazione del termine in dalla terza equazione. Moltiplichiamo la seconda equazione per -1, la terza equazione per -10 e sottraiamo la terza dalla seconda, otterremo così

Pertanto il sistema (1) si è così ridotto al sistema equivalente triangolare superiore

A questo punto è possibile ricavare la soluzione del sistema con il metodo di sostituzione

da cui

e

da cui