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Risoluzione di un sistema lineare con il metodo di Gauss

Il metodo di Gauss rappresenta un metodo alternativo a quello di Cramer, utilizzato per la risoluzione di un sistema di Studenti/matematica equazioni in Studenti/matematica incognite e si basa sull’osservazione che, in un sistema la cui matrice dei coefficienti è triagolare inferiore, è possibile ricavare il valore delle incognite a partire dall’ultima equazione e quindi, con sostituzioni successive, ricavare le altre incognite del sistema.

Si consideri, ad esempio, il sistema

Studenti/matematica

La terza equazione fornisce già il valore dell’incognita Studenti/matematica.

Applicando il metodo di sostituzione, dalla seconda equazione si ottiene

Studenti/matematica

da cui si ricava

Studenti/matematica

e sostituendo ancora nella prima equazione i valori di Studenti/matematica e Studenti/matematica individuati si ha

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Il metodo di Gauss consiste nel trasformare ogni sistema in un equivalente sistema triangolare.

Esaminiamo adesso più in dettaglio questo metodo nel caso di un generico sistema di tre equazioni in tre incognite.

Si consideri il sistema

Studenti/matematica

si moltiplichi la prima equazione per Studenti/matematica e la seconda per Studenti/matematica e si sottragga la seconda dalla prima. L’equazione che così si ottiene non ha più il termine in Studenti/matematica.

Passo 1)

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

notiamo come il termine in Studenti/matematica scompare perché dalle operazioni eseguite ne consegue che i coefficienti dei due termini in Studenti/matematica sono opposti. Facendo alcune semplici messe in evidenza e ponendo

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

si può scrivere

Studenti/matematica

Passo 2)

Analogamente, si moltiplichi la prima equazione per Studenti/matematica e la terza per Studenti/matematica e si sottragga la terza dalla prima. L’equazione ottenuta è anch’essa priva del termine in Studenti/matematica.

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

nuovamente, ponendo

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

possiamo scrivere

Studenti/matematica

Con le due operazioni indicate si è trasformato il sistema di partenza in un altro equivalente, nel quale tuttavia la seconda e la terza equazione non contengono più l’incognita Studenti/matematica

Studenti/matematica

Naturalmente i coefficienti Studenti/matematica sono diversi dai precedenti Studenti/matematica. A questo punto si moltiplichi la seconda equazione per Studenti/matematica e la terza per Studenti/matematica e si sottragga la terza dalla seconda; l’equazione che così si ottiene non ha più neanche l’incognita Studenti/matematica: si tratta di un’equazione nella sola Studenti/matematica. Procedendo nuovamente con i passi 1 e 2 si giunge a

Studenti/matematica
Studenti/matematica

per cui si può scrivere

Studenti/matematica

Il sistema, quindi, si presenta nella forma triangolare superiore

Studenti/matematica

Pertanto, applicando il metodo di sostituzione, così come mostrato nell’esempio precedente, si può ricavare Studenti/matematica dalla terza equazione, Studenti/matematica dalla seconda equazione ed Studenti/matematica dalla prima equazione, purchè i coefficienti Studenti/matematica, Studenti/matematica e Studenti/matematica siano diversi da zero.

Esempio 1

Si consideri il sistema

Studenti/matematica
1

Si proceda con l’eliminazione del termine in Studenti/matematica dalla seconda equazione. Ciò si può ottenere moltiplicando per 4 la prima equazione, per 1 la seconda equazione e sottraendo dalla prima la seconda:

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Per eliminare il termine in Studenti/matematica dalla terza equazione si moltiplichi per 2 la prima equazione, per 1 la terza equazione e, sottraendo la terza dalla prima, si ottiene

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

Il sistema (1) si è così ridotto al sistema equivalente

Studenti/matematica

Procediamo ora con l’eliminazione del termine in Studenti/matematica dalla terza equazione. Moltiplichiamo la seconda equazione per -1, la terza equazione per -10 e sottraiamo la terza dalla seconda, otterremo così

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

Pertanto il sistema (1) si è così ridotto al sistema equivalente triangolare superiore

Studenti/matematica

A questo punto è possibile ricavare la soluzione del sistema con il metodo di sostituzione

Studenti/matematica

da cui

Studenti/matematica

e

Studenti/matematica

da cui

Studenti/matematica