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Risoluzione di un sistema lineare con il metodo di Cramer

Il metodo di Cramer viene utilizzato per la risoluzione di un sistema di Studenti/matematica equazioni lineari in Studenti/matematica incognite nel caso in cui Studenti/matematica ed Studenti/matematica.

Vediamo prima il caso di Studenti/matematica.

Assegnato il sistema di due equazioni in due incognite

Studenti/matematica
1

se il determinante della matrice Studenti/matematica dei coefficienti è diverso da zero, il sistema è compatibile e determinato (ossia ammette una ed una sola soluzione) e la soluzione è espressa da:

Studenti/matematica
Studenti/matematica

in cui Studenti/matematica e Studenti/matematicasono le matrici ottenute da Studenti/matematica sostituendo rispettivamente la prima e la seconda colonna con il vettore Studenti/matematica dei termini noti, cioè

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Si consideri, ad esempio, il sistema di due equazioni in due incognite

Studenti/matematica

Il determinate della matrice dei coefficienti è

Studenti/matematica

Poichè il determinanate della matrice Studenti/matematica è diverso da zero, è possibile applicare il metodo di Cramer. Si procede, dunque, con il calcolo del deteminante delle matrici Studenti/matematica e Studenti/matematica:

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Pertanto, le soluzioni del sistema sono

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Il metodo di Cramer si estende facilmente al caso di un sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite

Assegnato un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite

Studenti/matematica
2

se il determinante della matrice Studenti/matematica dei coefficienti è diverso da zero, il sistema è compatibile e determinato (ossia ammette una ed una sola soluzione) e la soluzione è espressa da:

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

in cui Studenti/matematica, Studenti/matematica e Studenti/matematicasono le matrici ottenute da Studenti/matematica sostituendo rispettivamente la prima, la seconda e la terza colonna con il vettore Studenti/matematica dei termini noti, cioè

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica