Il metodo di Cramer viene utilizzato per la risoluzione di un sistema di equazioni lineari in
incognite nel caso in cui
ed
.
Vediamo prima il caso di .
Assegnato il sistema di due equazioni in due incognite

se il determinante della matrice dei coefficienti è diverso da zero, il sistema è compatibile e determinato (ossia ammette una ed una sola soluzione) e la soluzione è espressa da:


in cui e
sono le matrici ottenute da
sostituendo rispettivamente la prima e la seconda colonna con il vettore
dei termini noti, cioè


Si consideri, ad esempio, il sistema di due equazioni in due incognite

Il determinate della matrice dei coefficienti è

Poichè il determinanate della matrice è diverso da zero, è possibile applicare il metodo di Cramer. Si procede, dunque, con il calcolo del deteminante delle matrici
e
:


Pertanto, le soluzioni del sistema sono


Il metodo di Cramer si estende facilmente al caso di un sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite
Assegnato un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite

se il determinante della matrice dei coefficienti è diverso da zero, il sistema è compatibile e determinato (ossia ammette una ed una sola soluzione) e la soluzione è espressa da:



in cui ,
e
sono le matrici ottenute da
sostituendo rispettivamente la prima, la seconda e la terza colonna con il vettore
dei termini noti, cioè


