Il metodo di Cramer viene utilizzato per la risoluzione di un sistema di equazioni lineari in incognite nel caso in cui ed .

Vediamo prima il caso di .

Assegnato il sistema di due equazioni in due incognite

se il determinante della matrice dei coefficienti è diverso da zero, il sistema è compatibile e determinato (ossia ammette una ed una sola soluzione) e la soluzione è espressa da:

in cui e sono le matrici ottenute da sostituendo rispettivamente la prima e la seconda colonna con il vettore dei termini noti, cioè

Si consideri, ad esempio, il sistema di due equazioni in due incognite

Il determinate della matrice dei coefficienti è

Poichè il determinanate della matrice è diverso da zero, è possibile applicare il metodo di Cramer. Si procede, dunque, con il calcolo del deteminante delle matrici e :

Pertanto, le soluzioni del sistema sono

Il metodo di Cramer si estende facilmente al caso di un sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite

Assegnato un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite

se il determinante della matrice dei coefficienti è diverso da zero, il sistema è compatibile e determinato (ossia ammette una ed una sola soluzione) e la soluzione è espressa da:

in cui , e sono le matrici ottenute da sostituendo rispettivamente la prima, la seconda e la terza colonna con il vettore dei termini noti, cioè