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Retta tangente a un'ellisse

Il problema della tangente ad un’ellisse rientra nel più generale problema della tangente ad una curva. Consideriamo quindi l’equazione generica di un’ellisse con gli assi di simmetria paralleli agli assi cartesiani.

Studenti/matematica

Prima di tutto prendiamo in esame l’ellisse che passa per Studenti/matematica origine degli assi e cerchiamo la tangente all’ellisse proprio nel punto Studenti/matematica.

Studenti/matematica

Poiché dobbiamo trovare l’equazione di una retta che passa per l’origine, consideriamo la generica retta per Studenti/matematica

Studenti/matematica

Mettiamo a sistema le due equazioni

Studenti/matematica

e determiniamo la seguente equazione risolvente:

Studenti/matematica
1

Notiamo che se:

Studenti/matematica

essa ha due radici coincidenti, quindi la retta ha coefficiente angolare

Studenti/matematica

per cui la sua equazione è

Studenti/matematica
2

Esempio

Sia data l’ellisse

Studenti/matematica

il cui grafico è

Studenti/matematica

determinare l’equazione della tangente nel punto Studenti/matematica.

Il problema è di immediata soluzione perché basta usare la (2) prendendo i coefficienti Studenti/matematica e Studenti/matematica dell’equazione dell’ellisse:

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Se vogliamo calcolare l’equazione della tangente all’ellisse in un punto qualsiasi Studenti/matematica, come dobbiamo procedere?

Partiamo dalla condizione di appartenza del punto di tangenza Studenti/matematica all’ellisse:

Studenti/matematica

con alcuni passaggi algebrici e con l’applicazione di una traslazione, che per brevità qui evitiamo di riportare, si giunge infine alla equazione:

Studenti/matematica
3

La (3) é la formula della tangente ad una generica ellisse con assi parallelli agli assi coordinati, detta anche formula dello sdoppiamento in un punto Studenti/matematica.

Se l’ellisse ha centro nell’origine degli assi cioé

Studenti/matematica

operando le opportune sostituzioni dalla (3) si ottiene

si ottiene

Studenti/matematica

che è l’equazione della tangente all'ellisse con centro nell’origine degli assi.

Esempio 2

Determinare l’equazione delle tangenti all’ellissse

Studenti/matematica

condotte dal punto Studenti/matematica.

Studenti/matematica

La retta generica per il punto Studenti/matematica ha equazione

Studenti/matematica

scriviamo il sistema tra l’equazione della retta e l’ellisse

Studenti/matematica

applicando le sostituzioni abbiamo

Studenti/matematica

svolgendo il quadrato e semplificando

Studenti/matematica

calcoliamo il determinante Δ

Studenti/matematica

ed imponiamo la condizione di tangenza, ossia Studenti/matematica, ottenendo così

Studenti/matematica

Possiamo ora scrivere le rette tangenti all'ellisse data condotte da Studenti/matematica:

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

Esempio 3

Determinare l’equazione della tangente all’ellissse

Studenti/matematica

nel suo punto Studenti/matematica.

Studenti/matematica

Poichè siamo nel caso di una ellisse con centro nell’origine degli assi, possiamo

usare la formula di sdoppiamento

Studenti/matematica

Riscriviamoci prima l’equazione dell’ellisse in forma canonica

Studenti/matematica

quindi

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Quindi la formula di sdoppiamento in questo casa sarà:

Studenti/matematica

sostituiamo le coordinate del punto Studenti/matematica

Studenti/matematica

ed otteniamo infine l’equazione della tangente

Studenti/matematica
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