Il problema della tangente ad un’ellisse rientra nel più generale problema della tangente ad una curva. Consideriamo quindi l’equazione generica di un’ellisse con gli assi di simmetria paralleli agli assi cartesiani.

Prima di tutto prendiamo in esame l’ellisse che passa per origine degli assi e cerchiamo la tangente all’ellisse proprio nel punto .

Poiché dobbiamo trovare l’equazione di una retta che passa per l’origine, consideriamo la generica retta per

Mettiamo a sistema le due equazioni

e determiniamo la seguente equazione risolvente:

Notiamo che se:

essa ha due radici coincidenti, quindi la retta ha coefficiente angolare

per cui la sua equazione è

Esempio

Sia data l’ellisse

il cui grafico è

determinare l’equazione della tangente nel punto .

Il problema è di immediata soluzione perché basta usare la (2) prendendo i coefficienti e dell’equazione dell’ellisse:

Se vogliamo calcolare l’equazione della tangente all’ellisse in un punto qualsiasi , come dobbiamo procedere?

Partiamo dalla condizione di appartenza del punto di tangenza all’ellisse:

con alcuni passaggi algebrici e con l’applicazione di una traslazione, che per brevità qui evitiamo di riportare, si giunge infine alla equazione:

La (3) é la formula della tangente ad una generica ellisse con assi parallelli agli assi coordinati, detta anche formula dello sdoppiamento in un punto .

Se l’ellisse ha centro nell’origine degli assi cioé

operando le opportune sostituzioni dalla (3) si ottiene

si ottiene

che è l’equazione della tangente all'ellisse con centro nell’origine degli assi.

Esempio 2

Determinare l’equazione delle tangenti all’ellissse

condotte dal punto .

La retta generica per il punto ha equazione

scriviamo il sistema tra l’equazione della retta e l’ellisse

applicando le sostituzioni abbiamo

svolgendo il quadrato e semplificando

calcoliamo il determinante Δ

ed imponiamo la condizione di tangenza, ossia , ottenendo così

Possiamo ora scrivere le rette tangenti all'ellisse data condotte da :

Esempio 3

Determinare l’equazione della tangente all’ellissse

nel suo punto .

Poichè siamo nel caso di una ellisse con centro nell’origine degli assi, possiamo

usare la formula di sdoppiamento

Riscriviamoci prima l’equazione dell’ellisse in forma canonica

quindi

Quindi la formula di sdoppiamento in questo casa sarà:

sostituiamo le coordinate del punto

ed otteniamo infine l’equazione della tangente