Un altro elemento molto frequente nei problemi di geometria è il quello della determinazione della retta passante per due punti dati. Vediamo qui come si ottiene l’equazione della retta.
Prendiamo due punti qualsiasi sul piano, e
. Poichè sappiamo che per due punti distinti passa una sola retta, vogliamo individuarne la sua equazione. Si possono verificare più casi.
-
Se le ascisse dei due punti sono uguali cioè
la retta in questione é parallela all’asse
ed avremo
-
Se le ordinate dei due punti sono uguali cioè
la retta in questione é parallela all’asse
ed avremo
-
Se, invece, accade che
,
scegliamo un punto
della retta e ora proiettiamo i tre punti
,
ed
sugli assi, come mostrato in figura
applicando il teorema di Talete abbiamo:
ed anche
da cui ricaviamo
ed esplicitando le coordinate dei punti proiezioni, abbiamo
1 La (1) é l’equazione della retta per due punti ed é anche la condizione di appartenenza del punto
alla retta
per i due punti dati.
Se vogliamo verificare che un punto di coordinate note
appartiene alla retta r passante per i punti dati
e
, dobbiamo controllare che le sue coordinate verifichino la (1). Scriviamo pertanto

Notiamo che il primo membro della (2) può anche essere visto come il determinante della matrice così costruito:

La (3) esprime la condizione di allineamento di tre punti.
Notiamo, inoltre, che la (1) può essere scritta anche come:


da cui, portando tutto al primo membro,

in cui, applicando le sostituzioni



otteniamo nuovamente la forma generare dell’equazione della retta.

dove i coefficienti ,
e
sono espressi in funzione delle coordinate dei due punti dati.