Un altro elemento molto frequente nei problemi di geometria è il quello della determinazione della retta passante per due punti dati. Vediamo qui come si ottiene l’equazione della retta.

Prendiamo due punti qualsiasi sul piano, e . Poichè sappiamo che per due punti distinti passa una sola retta, vogliamo individuarne la sua equazione. Si possono verificare più casi.

1. Se le ascisse dei due punti sono uguali cioè la retta in questione é parallela all’asse ed avremo

   

   

2. Se le ordinate dei due punti sono uguali cioè la retta in questione é parallela all’asse ed avremo

   

   

3. Se, invece, accade che , scegliamo un punto della retta e ora proiettiamo i tre punti , ed sugli assi, come mostrato in figura

   

   applicando il teorema di Talete abbiamo:

   

   ed anche

   

   da cui ricaviamo

   

   ed esplicitando le coordinate dei punti proiezioni, abbiamo

   

   La (1) é l’equazione della retta per due punti ed é anche la condizione di appartenenza del punto alla retta per i due punti dati.

Se vogliamo verificare che un punto di coordinate note appartiene alla retta r passante per i punti dati e , dobbiamo controllare che le sue coordinate verifichino la (1). Scriviamo pertanto

Notiamo che il primo membro della (2) può anche essere visto come il determinante della matrice così costruito:

La (3) esprime la condizione di allineamento di tre punti.

Notiamo, inoltre, che la (1) può essere scritta anche come:

da cui, portando tutto al primo membro,

in cui, applicando le sostituzioni

otteniamo nuovamente la forma generare dell’equazione della retta.

dove i coefficienti , e sono espressi in funzione delle coordinate dei due punti dati.