I questo modulo approfondiamo il discorso della continuità di una funzione, attraverso alcune considerazioni sui punti in cui la funzione non é continua, ossia quei punti laddove non si verifica che
Ebbene, mentre il modo con cui una funzione è continua in un punto è univoco (quello espresso dalla condizione di sopra), ciò non accade quando non lo é, ovvero vi sono più modi per una funzione di essere discontinua in un punto. In altre parole, esistono diversi tipi di punti di discontinuità.
Per chiarire tale affermazione consideriamo innanzitutto i limiti sinistro e destro nel punto 
:
Si possono presentare tre casi, che affrontiamo nei seguenti paragrafi.
Discontinuità eliminabile
Se vengono soddisfatte le tre seguenti condizioni
-
ed 
esistono e sono finiti -
-
la discontinuità si dice eliminabile.
In altre parole deve verificarsi che esistono i limiti sinistro e destro e sono uguali e finiti e 
non esiste o non è uguale al limite; in tali casi la discontinuità é eliminabile con la condizione
Esempio 1
Studiamo la discontinuità della funzione
per il punto sono verificate le condizioni 1) e 2) in quanto abbiamo
ed inoltre, essendo 
è verificata anche la condizione 3), per cui il punto 
è un punto di discontinuità eliminabile. Pertanto, la funzione può essere scritta nel seguente modo
Il grafico ci conferma che la funzione risulta continua in tutto ℝ
Discontinuità di prima specie
Se vengono soddisfatte le due seguenti condizioni
-
ed 
esistono e sono finiti -
la discontinuità è di prima specie. Il limiti sinistro e destro esistono ma non sono uguali e pertanto non esiste il limite 
. A differenza del caso precedente, in questo caso la funzione in 
ha un “salto” definito dalla condizione:
Esempio 2
Studiamo la discontinuità della funzione:
nel punto 
.
Poichè in tale punto la funzione non risulta definita, non 
.
Si ha quindi,
e poi
quindi, avendosi 
la discontinuità risulta essere di prima specie, per cui si ha il salto:
Verifichiamo quanto detto tramite il grafico della funzione.
Discontinuità di seconda specie
Se viene soddisfatta la seguente condizione
-
ed 
non esistono o sono infiniti
la discontinuità è di seconda specie. Dei due limiti almeno uno non esiste o è infinito, pertanto non esiste il limite 
e non si verifica la condizione 1). Allora, quando uno dei limiti é infinito il punto di discontinuità 
si chiama punto di infinito. Vediamo ancora un esempio.
Esempio 3
Studiamo la discontinuità della funzione:
nel punto 
.
Andiamo a verificare quanto valgono i limiti a sinistra e destra del punto 
.
mentre
Quindi essendo uno dei due limiti infinito é verificata la condizione 1) per cui possiamo dire che la funzione ha in 
una discontinuità di seconda specie.
Quando il dominio di una funzione continua é un intervallo, le proprietà fondamentali sono contenute in due teoremi fondamentali relativi ad essa, e possono essere riassunte come segue:
Una funzione continua in un intervallo chiuso 
-
é limitata in
-
ammette massimo e minimo (teorema di Weiestrass)
-
assume, almeno una volta, qualsiasi valore compreso tra il minimo
e il massimo 
(teorema dei valori intermedi).