Studenti

cerca

Punti critici di una funzione

Lo studio di particolari punti di una funzione ed i relativi metodi per individuare le caratteristiche di tali punti presuppongono oltre alla continuità, la derivabilità della funzione in tali punti; quando ciò non accade bisogna studiare tali punti e ci possiamo imbattere in diversi casi.

Introduciamo il concetto con alcuni esempi dove i risultati vengono illustrati senza riportare i passaggi di calcolo.

Esempio 1

Consideriamo la funzione

Studenti/matematica

e verifichiamo che non risulta derivabile nel punto Studenti/matematica. Infatti, essendo la derivata prima

Studenti/matematica

si verifica facilmente che

Studenti/matematica

Verificandosi questa condizione, ovvero che la derivata sinistra di Studenti/matematica in Studenti/matematica è diversa dalla derivata destra, allora la funzione non é derivabile, inoltre la tangente sinistra è diversa dalla tangente destra ed anche che la funzione a sinistra di 1 è decrescente mentre a destra di 1 é crescente, ed il punto in questione è di minimo locale per la funzione ed anche un punto angoloso (termine che definiamo successivamente).

Disegniamo la funzione e la sua derivata prima per vedere come si comportano nel punto Studenti/matematica

Studenti/matematica

Esempio 2

Consideriamo la seguente funzione

Studenti/matematica

definita e continua in tutto Studenti/matematica; osserviamo che risulta non derivabile nel punto Studenti/matematica. Infatti, la derivata prima risulta essere

Studenti/matematica

e per la quale risulta

Studenti/matematica

quindi

Studenti/matematica

Concludiamo dicendo che il punto Studenti/matematica è un punto in cui la funzione Studenti/matematica risulta continua ma non derivabile. Vediamo anche in questo esempio il grafico della funzione e della sua derivata prima per comprendere meglio cosa accade nel punto Studenti/matematica.

Studenti/matematica

Analizziamo adesso nel dettaglio i vari casi che possono presentare.

Punto angoloso

Si dice punto angoloso un punto nel quale esistono le derivate finite destra e sinistra della funzione ma hanno limiti diversi; la funzione pertanto non é derivabile in tale punto. Graficamente in tale punto avremo due distinte tangenti; si possono verificare tre distinti casi:

  1. Caso 1. Si verificano le due condizioni

    Studenti/matematica
    Studenti/matematica

    dove

    Studenti/matematica

    è il rapporto incrementale.

    Graficamente si ha

    Studenti/matematica
  2. Caso 2. Si verificano le due condizioni

    Studenti/matematica
    Studenti/matematica

    Graficamente si ha

    Studenti/matematica
    Studenti/matematica
  3. Caso 3. Si verificano le due condizioni

    Studenti/matematica
    Studenti/matematica

    Graficamente si ha

    Studenti/matematica
    Studenti/matematica

Cuspide

Si ha una cuspide nel punto Studenti/matematica quando i limiti destro e sinistro del rapporto Studenti/matematica per Δx che tende a zero, tendono a +∞ e a -∞. Geometricamente vuol dire che le semitangenti alla curva nel punto sono verticali. Anche per le cuspidi possiamo individuare due casi diversi:

  1. Caso 1. Si verificano le seguenti condizioni

    Studenti/matematica
    Studenti/matematica

    Graficamente si ha

    Studenti/matematica
  2. Caso 2. Si verificano le seguenti condizioni

    Studenti/matematica
    Studenti/matematica

    Graficamente si ha

    Studenti/matematica

Flesso a tangente verticale

Una funzione Studenti/matematica ha un flesso a tangente verticale quando la sua derivata prima tende all'infinito nel punto Studenti/matematica ed ha derivata seconda in un intorno di Studenti/matematica e si verifica che:

Studenti/matematica

Graficamente si ha

Studenti/matematica
Studenti/matematica