Lo studio di particolari punti di una funzione ed i relativi metodi per individuare le caratteristiche di tali punti presuppongono oltre alla continuità, la derivabilità della funzione in tali punti; quando ciò non accade bisogna studiare tali punti e ci possiamo imbattere in diversi casi.
Introduciamo il concetto con alcuni esempi dove i risultati vengono illustrati senza riportare i passaggi di calcolo.
Esempio 1
Consideriamo la funzione
e verifichiamo che non risulta derivabile nel punto 
. Infatti, essendo la derivata prima
si verifica facilmente che
Verificandosi questa condizione, ovvero che la derivata sinistra di 
in 
è diversa dalla derivata destra, allora la funzione non é derivabile, inoltre la tangente sinistra è diversa dalla tangente destra ed anche che la funzione a sinistra di 1 è decrescente mentre a destra di 1 é crescente, ed il punto in questione è di minimo locale per la funzione ed anche un punto angoloso (termine che definiamo successivamente).
Disegniamo la funzione e la sua derivata prima per vedere come si comportano nel punto 
Esempio 2
Consideriamo la seguente funzione
definita e continua in tutto 
; osserviamo che risulta non derivabile nel punto 
. Infatti, la derivata prima risulta essere
e per la quale risulta
quindi
Concludiamo dicendo che il punto 
è un punto in cui la funzione 
risulta continua ma non derivabile. Vediamo anche in questo esempio il grafico della funzione e della sua derivata prima per comprendere meglio cosa accade nel punto 
.
Analizziamo adesso nel dettaglio i vari casi che possono presentare.
Punto angoloso
Si dice punto angoloso un punto nel quale esistono le derivate finite destra e sinistra della funzione ma hanno limiti diversi; la funzione pertanto non é derivabile in tale punto. Graficamente in tale punto avremo due distinte tangenti; si possono verificare tre distinti casi:
-
Caso 1. Si verificano le due condizioni
dove
è il rapporto incrementale.
Graficamente si ha
-
Caso 2. Si verificano le due condizioni
Graficamente si ha
-
Caso 3. Si verificano le due condizioni
Graficamente si ha
Cuspide
Si ha una cuspide nel punto 
quando i limiti destro e sinistro del rapporto 
per Δx che tende a zero, tendono a +∞ e a -∞. Geometricamente vuol dire che le semitangenti alla curva nel punto sono verticali. Anche per le cuspidi possiamo individuare due casi diversi:
-
Caso 1. Si verificano le seguenti condizioni
Graficamente si ha
-
Caso 2. Si verificano le seguenti condizioni
Graficamente si ha
Flesso a tangente verticale
Una funzione 
ha un flesso a tangente verticale quando la sua derivata prima tende all'infinito nel punto 
ed ha derivata seconda in un intorno di 
e si verifica che:
Graficamente si ha
