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Proprietà dell'iperbole

Vediamo ora alcune proprietà dell’iperbole che ci permettono di comprendere meglio le sue caratteristiche e quindi poter eseguire un’analisi approfonidita della curva.

Intersezione con gli assi

L’iperbole di equazione

Studenti/matematica

interseca l'asse Studenti/matematica nei punti

Studenti/matematica
Studenti/matematica

che sono detti anche i vertici dell'iperbole, ma non interseca l'asse Studenti/matematica.L'asse Studenti/matematica si chiama asse trasverso, l'asse Studenti/matematica asse non trasverso.

Studenti/matematica

L’iperbole di equazione

Studenti/matematica

interseca l’asse Studenti/matematica nei punti

Studenti/matematica
Studenti/matematica

che sono detti anche i vertici dell’iperbole, ma non interseca l’asse Studenti/matematica.

L’asse Studenti/matematica si chiama asse trasverso l'asse Studenti/matematica asse non trasverso, si deduce che l’asse trasverso è l’asse focale (la retta passante per i due fuochi).

Studenti/matematica

Simmetria rispetto agli assi coordinati

Notiamo che entrambe le equazioni

Studenti/matematica
Studenti/matematica

presentano i termini nelle variabili Studenti/matematica e Studenti/matematica al secondo grado, pertanto la curva é simmetrica rispetto agli assi coordinati e all’origine.

Asintoti

Per cercare le equazioni degli asintoti partiamo dall’equazione canonica

Studenti/matematica

e consideriamo una generica retta per l'origine Studenti/matematica, di equazione Studenti/matematica e quindi mettiamo a sistema le due equazioni:

Studenti/matematica
1

risolvendo abbiamo:

Studenti/matematica

le cui soluzioni dipendono dal termine Studenti/matematica. Quindi, vediamo adesso i casi che possono capitare in funzione dei valori che assume tale termine

  1. Studenti/matematica, allora si ha

    Studenti/matematica

    ne segue che si hanno due soluzioni reali e distinte per la Studenti/matematica (e dunque per la Studenti/matematica) quindi la retta Studenti/matematica interseca l’iperbole in due punti

  2. Studenti/matematica, allora

    Studenti/matematica

    ne segue che le rette di coefficienti angolari Studenti/matematica cioè

    Studenti/matematica
    Studenti/matematica

    sono gli asintoti dell’iperbole. Possiamo dire che tali rette sono tangenti all’iperbole all'infinito cioé in punti posti a distanza infinitamente grande dall’origine degli assi. Avendo gli asintoti coefficienti angolari Studenti/matematica le rette sono le diagonali di un rettangolo di lati Studenti/matematica, Studenti/matematica, Studenti/matematica, Studenti/matematica.

  3. Studenti/matematica, allora

  4. Studenti/matematica

    ne segue che il sistema (1) non ha soluzioni reali, ossia le rette non intersecano la curva.

L'iperbole: curva illimitata

Consideriamo ancora una volta la curva

Studenti/matematica

e dall’equazione ricaviamo

Studenti/matematica

da cui deriva

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Si deduce che i punti della curva sono fuori dalla striscia limitata dalle rette Studenti/matematica e Studenti/matematica.

Per la curva

Studenti/matematica

valgono le stesse considerazioni ma considerando le rette Studenti/matematica e Studenti/matematica.

Eccentricità

Considerata l’equazione

Studenti/matematica

il rapporto

Studenti/matematica

si chiama eccentricità. Nel caso

Studenti/matematica

l’eccentricità vale

Studenti/matematica

Poiché abbiamo anche la relazione

Studenti/matematica

si ha anche

Studenti/matematica

da cui ricaviamo un’altra formula per l’eccentricità che è

Studenti/matematica

che scritta nella forma

Studenti/matematica

ci dice che l’eccentricità è un valore sempre maggiore di 1.

Per la curva

Studenti/matematica

si ha analogamente

Studenti/matematica

Iperbole con gli assi paralleli agli assi cartesiani

Scriviamo l’equazione dell'iperbole di centro Studenti/matematica e asse focale parallelo all’asse Studenti/matematica con semiassi Studenti/matematica e Studenti/matematica

Studenti/matematica

i fuochi avranno le coordinate

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Se l’asse focale è parallelo all’asse Studenti/matematica abbiamo

Studenti/matematica

e i fuochi avranno le coordinate

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Esempio

Determinare l’equazione dell’iperbole di centro Studenti/matematica con asse focale parallelo all’asse Studenti/matematica e di semiassi Studenti/matematica e Studenti/matematica.

L’equazione in questo caso é:

Studenti/matematica

sviluppando otteniamo l’equazione:

Studenti/matematica
Studenti/matematica

i fuochi saranno:

Studenti/matematica
Studenti/matematica