Vediamo ora alcune proprietà dell’iperbole che ci permettono di comprendere meglio le sue caratteristiche e quindi poter eseguire un’analisi approfonidita della curva.
Intersezione con gli assi
L’iperbole di equazione
interseca l'asse nei punti
che sono detti anche i vertici dell'iperbole, ma non interseca l'asse .L'asse si chiama asse trasverso, l'asse asse non trasverso.
L’iperbole di equazione
interseca l’asse nei punti
che sono detti anche i vertici dell’iperbole, ma non interseca l’asse .
L’asse si chiama asse trasverso l'asse asse non trasverso, si deduce che l’asse trasverso è l’asse focale (la retta passante per i due fuochi).
Simmetria rispetto agli assi coordinati
Notiamo che entrambe le equazioni
presentano i termini nelle variabili e al secondo grado, pertanto la curva é simmetrica rispetto agli assi coordinati e all’origine.
Asintoti
Per cercare le equazioni degli asintoti partiamo dall’equazione canonica
e consideriamo una generica retta per l'origine , di equazione e quindi mettiamo a sistema le due equazioni:
risolvendo abbiamo:
le cui soluzioni dipendono dal termine . Quindi, vediamo adesso i casi che possono capitare in funzione dei valori che assume tale termine
-
, allora si ha
ne segue che si hanno due soluzioni reali e distinte per la (e dunque per la ) quindi la retta interseca l’iperbole in due punti
-
, allora
ne segue che le rette di coefficienti angolari cioè
sono gli asintoti dell’iperbole. Possiamo dire che tali rette sono tangenti all’iperbole all'infinito cioé in punti posti a distanza infinitamente grande dall’origine degli assi. Avendo gli asintoti coefficienti angolari le rette sono le diagonali di un rettangolo di lati , , , .
-
, allora
-
ne segue che il sistema (1) non ha soluzioni reali, ossia le rette non intersecano la curva.
L'iperbole: curva illimitata
Consideriamo ancora una volta la curva
e dall’equazione ricaviamo
da cui deriva
Si deduce che i punti della curva sono fuori dalla striscia limitata dalle rette e .
Per la curva
valgono le stesse considerazioni ma considerando le rette e .
Eccentricità
Considerata l’equazione
il rapporto
si chiama eccentricità. Nel caso
l’eccentricità vale
Poiché abbiamo anche la relazione
si ha anche
da cui ricaviamo un’altra formula per l’eccentricità che è
che scritta nella forma
ci dice che l’eccentricità è un valore sempre maggiore di 1.
Per la curva
si ha analogamente
Iperbole con gli assi paralleli agli assi cartesiani
Scriviamo l’equazione dell'iperbole di centro e asse focale parallelo all’asse con semiassi e
i fuochi avranno le coordinate
Se l’asse focale è parallelo all’asse abbiamo
e i fuochi avranno le coordinate
Esempio
Determinare l’equazione dell’iperbole di centro con asse focale parallelo all’asse e di semiassi e .
L’equazione in questo caso é:
sviluppando otteniamo l’equazione:
i fuochi saranno: