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Proprietà dell'integrale indefinito

L’integrale indefinito gode di una serie di semplici proprietà che risultano molto utili nel calcolo degli integrali. Vista la relazione tra l’operazione di integrazione indefinita e la derivazione, non ci meraviglia che le proprietà di cuiparliamo derivano in parte da corrispondenti proprietà della derivata, che riportiamo qui per comodità.

Se Studenti/matematica e Studenti/matematica sono due funzioni derivabili in un intervallo Studenti/matematica valgono le seguenti proprietà per la derivazione

  • Studenti/matematica

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Analogamente, se Studenti/matematica e Studenti/matematica sono due funzioni derivabili in un intervallo Studenti/matematica⊆ℝ valgono le seguenti proprietà per l’integrazione indefinita.

  1. Se Studenti/matematica é una costante e Studenti/matematica, si ha:

    Studenti/matematica

    che praticamente ci dice che una costante Studenti/matematica interna al segno di integrale moltiplicata per la funzione integranda può essere portata fuori dal segno di integrale.

  2. L'integrale della somma di più funzioni é uguale alla somma degli integrali delle singole funzioni. cioè:

    Studenti/matematica

    Questa regola rappresenta la formula dell’integrazione per scomposizione, essa risulta utile nel caso in cui scomponendo la funzione integranda ci troviamo in condizione di poter integrare le funzioni componenti conoscendone l'integrale indefinito.

    Ovviamente si può generalizzare alla somma di Studenti/matematica funzioni

    Studenti/matematica
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  3. partiamo dal ricordare la formula di derivazione del prodotto di funzioni, che è

    Studenti/matematica

    possiamo ricavare da questa, la seguente

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    ed applicando l’operazione di integrazione indefinita ad entrambi i membri, otteniamo

    Studenti/matematica

    che per la proprietà 2 sopra esposta, si trasforma in

    Studenti/matematica

    da cui, ricordando che l’integrale della derivata di una funzione è la funzione stessa, abbiamo

    Studenti/matematica

    Questa proprietà ci riporta alla formula dell’integrazione per parti, che viene approfondita nel modulo “Integrazione per parti” e ne vengono dati alcuni esempi pratici.