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Prodotto di matrici righe per colonne

Si definisce prodotto righe per colonne di una matrice Studenti/matematica di ordine Studenti/matematica per una matrice Studenti/matematica di ordine Studenti/matematica, la matrice Studenti/matematica di ordine Studenti/matematica i cui elementi sono dati dalla seguente formula

Studenti/matematica

Esplicitando

Studenti/matematica
1

con Studenti/matematica e Studenti/matematica

Si ricava facilmente la condizione:

date due matrici Studenti/matematica e Studenti/matematica per poter effettuare il prodotto righe per colonne Studenti/matematica il numero delle colonne di Studenti/matematica deve essere uguale al numero delle righe di Studenti/matematica.

Per fare un esempio, consirando il caso di Studenti/matematica, il primo elemento della matrice Studenti/matematica si calcola nel seguente modo:

Studenti/matematica

Facciamo alcuni esempi.

Esempio 1

Assegnate le matrici quadrate

Studenti/matematica

e

Studenti/matematica

Calcolare il prodotto Studenti/matematica.

Poiché le matrici hanno le stesse dimensioni si possono moltiplicare tra di loro. Applicando la (1) si ottiene

Studenti/matematica

e proseguendo con il calcolo di tutti i valori di Studenti/matematica, si ha

Studenti/matematica

Esempio 2

Assegnate le matrici rettangolari

Studenti/matematica

di ordine Studenti/matematica e

Studenti/matematica

di ordine Studenti/matematica, calcolare il prodotto Studenti/matematica.

Verificata la compatibilità delle due matrici rispetto all’operazione di moltiplicazione, ossia le colonne di Studenti/matematica sono 3 e corrispondono alle alle righe di Studenti/matematica, applicando ancora la (1) si ottiene

Studenti/matematica

Casi particolari

Ricordando che i vettori riga e vettori colonna sono particolari matrici, il vettore riga è una matrice Studenti/matematica ed il vettore colonna è una matrice Studenti/matematica, è immediato comprendere che è possibile fare l’operazione di moltiplicazione anche su tali vettori. Bisogna, però, fare attenzione alla compatibilità delle dimensioni, ossia al numero di righe o colonne dei vettori che consideriamo, in base al tipo di prodotto che vogliamo eseguire.

Vediamo i vari casi che si possono presentare.

  1. Il prodotto di un vettore riga Studenti/matematica per un vettore colonna Studenti/matematica genera una matrice di dimensioni Studenti/matematica

    Studenti/matematica
  2. Il prodotto di un vettore colonna Studenti/matematica per un vettore riga Studenti/matematica produce una matrice Studenti/matematica

    Studenti/matematica
  3. Il prodotto di un vettore riga Studenti/matematica per una matrice Studenti/matematica produce ancora un vettore riga di dimensioni Studenti/matematica

    Studenti/matematica
  4. Il prodotto di una matrice Studenti/matematica per un vettore colonna Studenti/matematica produce un vettore colonna Studenti/matematica

    Studenti/matematica

Ovviamente, il prodotto di una matrice Studenti/matematica per un vettore riga Studenti/matematica così come il prodotto di un vettore colonna Studenti/matematica per una matrice Studenti/matematica non sono possibili in quanto non soddisfano la condizione di compatibilità del numero righe/colonne espressa in precedenza.