Si definisce prodotto righe per colonne di una matrice 
di ordine 
per una matrice 
di ordine 
, la matrice 
di ordine 
i cui elementi sono dati dalla seguente formula
Esplicitando
con 
e 
Si ricava facilmente la condizione:
date due matrici 
e 
per poter effettuare il prodotto righe per colonne 
il numero delle colonne di 
deve essere uguale al numero delle righe di 
.
Per fare un esempio, consirando il caso di 
, il primo elemento della matrice 
si calcola nel seguente modo:
Facciamo alcuni esempi.
Esempio 1
Assegnate le matrici quadrate
e
Calcolare il prodotto 
.
Poiché le matrici hanno le stesse dimensioni si possono moltiplicare tra di loro. Applicando la (1) si ottiene
e proseguendo con il calcolo di tutti i valori di 
, si ha
Esempio 2
Assegnate le matrici rettangolari
di ordine 
e
di ordine 
, calcolare il prodotto 
.
Verificata la compatibilità delle due matrici rispetto all’operazione di moltiplicazione, ossia le colonne di 
sono 3 e corrispondono alle alle righe di 
, applicando ancora la (1) si ottiene
Casi particolari
Ricordando che i vettori riga e vettori colonna sono particolari matrici, il vettore riga è una matrice 
ed il vettore colonna è una matrice 
, è immediato comprendere che è possibile fare l’operazione di moltiplicazione anche su tali vettori. Bisogna, però, fare attenzione alla compatibilità delle dimensioni, ossia al numero di righe o colonne dei vettori che consideriamo, in base al tipo di prodotto che vogliamo eseguire.
Vediamo i vari casi che si possono presentare.
-
Il prodotto di un vettore riga
per un vettore colonna 
genera una matrice di dimensioni 
-
Il prodotto di un vettore colonna
per un vettore riga 
produce una matrice 
-
Il prodotto di un vettore riga
per una matrice 
produce ancora un vettore riga di dimensioni 
-
Il prodotto di una matrice
per un vettore colonna 
produce un vettore colonna 
Ovviamente, il prodotto di una matrice 
per un vettore riga 
così come il prodotto di un vettore colonna 
per una matrice 
non sono possibili in quanto non soddisfano la condizione di compatibilità del numero righe/colonne espressa in precedenza.