Si definisce prodotto righe per colonne di una matrice di ordine per una matrice di ordine , la matrice di ordine i cui elementi sono dati dalla seguente formula
Esplicitando
con e
Si ricava facilmente la condizione:
date due matrici e per poter effettuare il prodotto righe per colonne il numero delle colonne di deve essere uguale al numero delle righe di .
Per fare un esempio, consirando il caso di , il primo elemento della matrice si calcola nel seguente modo:
Facciamo alcuni esempi.
Esempio 1
Assegnate le matrici quadrate
e
Calcolare il prodotto .
Poiché le matrici hanno le stesse dimensioni si possono moltiplicare tra di loro. Applicando la (1) si ottiene
e proseguendo con il calcolo di tutti i valori di , si ha
Esempio 2
Assegnate le matrici rettangolari
di ordine e
di ordine , calcolare il prodotto .
Verificata la compatibilità delle due matrici rispetto all’operazione di moltiplicazione, ossia le colonne di sono 3 e corrispondono alle alle righe di , applicando ancora la (1) si ottiene
Casi particolari
Ricordando che i vettori riga e vettori colonna sono particolari matrici, il vettore riga è una matrice ed il vettore colonna è una matrice , è immediato comprendere che è possibile fare l’operazione di moltiplicazione anche su tali vettori. Bisogna, però, fare attenzione alla compatibilità delle dimensioni, ossia al numero di righe o colonne dei vettori che consideriamo, in base al tipo di prodotto che vogliamo eseguire.
Vediamo i vari casi che si possono presentare.
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Il prodotto di un vettore riga per un vettore colonna genera una matrice di dimensioni
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Il prodotto di un vettore colonna per un vettore riga produce una matrice
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Il prodotto di un vettore riga per una matrice produce ancora un vettore riga di dimensioni
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Il prodotto di una matrice per un vettore colonna produce un vettore colonna
Ovviamente, il prodotto di una matrice per un vettore riga così come il prodotto di un vettore colonna per una matrice non sono possibili in quanto non soddisfano la condizione di compatibilità del numero righe/colonne espressa in precedenza.