Nello studio di problemi di geometria analitica capita spesso di non conoscere l’equazione di una curva ma alcune condizioni o informazioni su di essa. Pertanto, analizziamo varie situazioni in cui a partire da certe condizioni possiamo pervenire all’equazione della parabola. Le condizioni di cui parliamo si traducono nello scrivere delle equazioni e metterle a sistema, che una volta risolto ci conduce alla soluzione del problema.
Come si vede dalle equazioni di parabole sia del tipo
che del tipo
le incognite sono i tre coefficienti , e quindi anche in questo caso dobbiamo imporre tre condizioni indipendenti tra loro per la risoluzione dei problemi relativi.
Vediamo alcuni dei casi possibili in cui ci si può imbattere:
Passaggio per tre punti
Un modo semplice ed immediato prevede di imporre le condizioni di appartenenza dei tre punti alla circonferenza, ossia sostituendo nell'equazione della parabola i valori con le coordinate di ciascun punto. Si ricava un sistema di tre equazioni nelle tre incognite cercate.
Dati ad esempio i tre punti , e come in figura
imponendo il passaggio dei punti per la curva di generica equazione (1) si ottiene il sistema
poiché le coordinate dei tre punti , e sono note, il sistema ha solo tre incognite, che sono i parametri , e dell'equazione della parabola. Una volta risolto otterremo la parabola cercata.
Passaggio per un punto e conoscenza delle coordinate del vertice.
La conoscenza del vertice fornisce due condizioni, infatti sappiamo che il vertice ha coordinate
poi il passaggio per un punto fornisce la terza condizione.
Quindi detto il vertice
ed il punto
il sistema che possiamo scrivere è
in cui le incognite sono solo i tre coefficienti cercati.
Conoscenza delle coordinate del vertice e del fuoco
Come per il caso precedente, la conoscenza del vertice fornisce due condizioni; la conoscenza del fuoco
ci fornisce la terza condizione.
Quindi detto il fuoco
ed il vertice
il sistema che possiamo scrivere è
Conoscenza delle coordinate del vertice e della direttrice (equazione)
La conoscenza del vertice fornisce due condizioni; la conoscenza della direttrice
ci fornisce la terza condizione.
Quindi detto il vertice
e la direttrice
il sistema che possiamo scrivere è
Conoscenza della direttrice, dell’equazione dell’asse e passaggio per un punto
La conoscenza della direttrice ci fornisce una condizione, la seconda si ricava dall’equazione dell'asse di simmetria
Il passaggio per il punto che si può scrivere come
fornisce la terza condizione.
Quindi detta la direttrice
e l’asse di simmetria
il sistema che possiamo scrivere è
Conoscenza delle tangenza ad una data retta e passaggio per due punti
Imponendo il passaggio dei due punti per la curva di generica equazione (1) si trovano due condizioni; la terza la si trova imponendo la condizione di tangenza () nel sistema tra retta data e parabola generica ossia:
Esempio 1
Determinare l'equazione della parabola di vertice e fuoco .
Ci troviamo nel caso 3. per cui dai dati forniti possiamo costruire il sistema come nella (4)
Risolvendo il sistema abbiamo
Quindi l'equazione della curva è
Esempio 2
Determinare l'equazione della parabola di vertice e direttrice .
Siamo nel caso 4. per cui dai dati forniti possiamo costruire il sistema come nella (5)
si perviene alle soluzioni
quindi avremo: