La circonferenza passa per tre punti

Un modo semplice ed immediato prevede di imporre le condizioni di appartenenza dei tre punti alla circonferenza, ossia sostituendo nell’equazione (1) i valori con le coordinate di ciascun punto. Si ricava un sistema di tre equazioni nelle tre incognite , , e .

Dati ad esempio i tre punti , e come in figura (1)

imponendo il passaggio dei punti per la circonferenza di generica equazione (1) si ottiene il sistema

poiché le coordinate dei tre punti , e sono note, il sistema ha solo tre incognite, che sono i parametri , e dell’equazione della retta. Si noti che il problema é possibile, ossia il sistema ammetterà sempre una soluzione e sarà unica, solo se i tre punti non sono allineati.

Una volta risolto otterremo la circonferenza che passa per , e .

Facciamo un esempio pratico.

Esempio 1

Siano dati i tre punti

Scrivere l’equazione della circonferenza che passa per i tre punti dati.

Prendiamo l’equazione della circonferenza

ed imponiamo il passaggio per ciascuno dei tre punti creando un sistema di tre equazioni in tre incognite , , e

Risolvendo il sistema otteniamo la seguente equazione della circonferenza

La figura illustra i punti e la circonferenza calcolata.

La circonferenza ha il centro noto e passa per un punto dato

La conoscenza del centro fornisce due condizioni, infatti se ha coordinate abbiamo: , ; il passaggio per un punto ci da la terza condizione, utile per determinare il coefficiente . In alternativa, possiamo calcolare il raggio come distanza tra le coordinate del cento e quelle del punto dato e scrivere quindi l’equazione canonica della circonferenza di centro e raggio . Facciamo un esempio

Esempio 2

Calcolare l’equazione della circonferenza di centro passante per .

Dalle coordinate del centro ricaviamo a e b

Impostiamo il passaggio per il punto A

da cui ricaviamo . Quindi la circonferenza cercata è

Proviamo anche a calcolare questa equazione con il calcolo del raggio, come misura del segmento

Sapendo che

ricaviamo

La circonferenza passa per due punti ed il suo centro appartiente ad una retta data

Siano dati due punti nel piano, diciamo e ed una retta di equazione . Vediamo come determinare l’equazione della circonferenza che ha centro sulla circonferenza e tocca i due punti e .

Osserviamo che il centro della circonferenza si trova come intersezione della retta data con l'asse del segmento con estremi i due punti noti.

Per trovare l’equazione della circonferenza bisogna prima trovare l’equazione della retta perpendicolare al segmento , che sarebbe il suo asse. In tal modo possiamo fare l’intersezione con la retta data e trovare così le coordinate del centro, diciamo . Una volta ottenuto questo avendo anche le coordinate dei due punti per cui passa la circonferenza, abbiamo condizioni a sufficienza per trovare i tre parametri della circonferenza , e . Infatti, come visto nel caso precedente, una volta note le coordinate del centro è sufficiente anche avere un solo punto per cui passa la circonferenza per poterne determinare tutti i suoi coefficienti.

Praticamente, bisogna prima trovare il punto medio sul segmento così possiamo scrivere l’equazione della retta perpendicolare.

Scriviamo l’equazione della retta

da cui abbiamo il coefficiente angolare

Ora possiamo calcolare l’asse del segmento , ossia la perpendicolare che passa nel punto medio

Infine, mettiamo a sistema le equazioni delle due rette, la (2) e quella della retta data

Come detto la loro intersezione è proprio il centro , che quindi conosceremo dalla soluzione del sistema.

Una volta note le coordinate di basta ricordare che

e si determinano i coefficienti e . Infine, imponendo il passaggio in uno dei due punti o si ricava il terzo parametro .

Si noti che si può presentare il caso particolare in cui la retta data sia proprio la retta che passa per e , quindi il centro coincide con il punto medio ed il segmento è il diametro della circonferenza.

Si noti, infine, che una volta note le coordinate del centro si può anche facilmente calcolare il raggio come la distanza o .

Esempio 3

Siano dati i due punti

e la retta di equazione

Calcolare la circonferenza con centro su e che passa per e .

Calcoliamo il punto medio sul segmento

Ora determiniamo la retta passante per e ed il suo coefficiente angolare

quindi la retta asse del segmento in ha equazione

A questo punto facciamo l’intersezione tra la retta appena trovata e la retta assegnata, così determiniamo le coordinate del centro .

Si ricava facilmente così

Da ricaviamo e , ed otteniamo

Infine, imponiamo il passaggio della circonferenza per il punto

sostituendo i valori di e

quindi la circonferenza

La circonferenza ha il centro noto ed è tangente ad una retta data

Siano note le coordinate di un punto centro della circonferenza e l’equazione di una retta tangente alla circonferenza, bisogna trovare l’equazione della circonferenza. Come già visto nei casi precedenti, il centro fornisce due condizioni, ossia consente di determinare e . La tangente alla circonferenza fornisce la terza condizione vale a dire che, scritta l’equazione di una generica circonferenza

si tratta di determinare la condizione di tangenza () ottenuta dalla soluzione del sistema tra la circonferenza e la retta data.

Esempio 4

Scrivere l’equazione della circonferenza di centro e tangente alla retta di equazione .

Dalle coordinate del centro ricaviamo immediatamente i parametri e dell’equazione della circonferenza.

quindi possiamo mettere a sistema l’equazione della circonferenza con incognita e l’equazione della retta tangente. Ne ricaviamo il discriminante e imponiamo la condizione , da cui ricaveremo il valore di .

sostituiamo la della seconda equazione nella prima

adesso calcoliamo il determinante e poniamolo uguale a zero

si ricava

quindi la circonferenza è

L’immagine seguente illustra la soluzione

La circonferenza è tangente ad una retta in un punto dato T e passa per un altro punto Q

In questo caso si conosce l’equazione della retta tangente alla circonferenza e le coordinate del punto di tangenza, ed inoltre si conosce un altro punto per cui passa la circonferenza.

Conviene, come fatto nei casi precedenti, di ricavare le coordinate del centro, dal quale poi ricaviamo e . Per fare questo, detto il centro, dobbiamo trovare due equazioni nelle incognite e .

Conoscendo la tangente ed il punto di tangenza possiamo calcolare l’equazione dell’asse della tangente in , quindi la retta su cui giace il centro. A questo punto uguagliamo i due segmenti, entrambi pari al raggio, e , espressi come distanze dei punti e e e , rispettivamente.

La seconda equazione la ricaviamo imponendo al punto di appartenere all’equazione dell’asse della tangente t in .

Risolvendo il sistema tra le due equazioni otteniamo le coordinate di , e poi possiamo rifarci ad uno del casi precedenti, essendo noti il centro, due punti e per cui passa la circonferenza ed una tangente.