Riprendiamo l’equazione canonica dell’ellisse:

ed osserviamo che sono presenti due coefficienti che vanno esplicitati. Pertanto, in generale nei problemi sull’ellisse, si devono impostare due condizioni indipendenti così da poter scrivere l’equazione della curva; ricordiamo che l’ellisse scritta in precedenza rappresenta una curva i cui assi di simmetria si trovano sugli assi coordinati ed il centro dell'ellisse coicide con l'origine degli assi coordinati.

Vediamo in dettaglio quali sono le situazioni in cui a partire dai dati noti riusciamo a scrivere l'equazione della curva.

Passaggio dell'ellisse per due punti

Per risolvere il problema bisogna imporre le condizioni di appartenenza dei punti (due) alla curva, tali punti non devono essere simmetrici rispetto agli assi in quanto una delle coordinate dei due punti coincide conquella dell’altro punto, o nel secondo caso le coordinate dei punti non sono indipendenti. Sostituendo le coordinate all’equazione dell’ellisse una per punto, possiamo risolvere il sistema di due equazioni nelle incognite e .

Esempio 1

Scrivere l'equazione dell'ellisse riferita al centro e agli assi passante per i punti e , trovarne i fuochi e gli assi.

Consideriamo l’equazione generale dell’ellisse con centro in origine degli assi

Poiché i punti e appartengono alla curva le coordinate devono verificare la l’equazione dell’ellisse:

dopo un artifici e qualche passaggio si giunge alla fine alla forma

da cui ricaviamo l'equazione della ellisse che é

I semiassi sono

si vede che i fuochi si trovano sull'asse .

Abbiamo infine:

scriviamo i fuochi

Conoscenza delle coordinate  di un  fuoco e di un vertice

Le coordinate del fuoco e del vertice sono rappresentate da relazioni tra i coefficienti e dell'ellisse, per quanto riguarda il fuoco utilizziamo la relazione , l’altra relazione si ricava dall’appartenanza del vertice alla curva. Basta quindi sostituire le coordinate del vertice nell’equazione della curva per risolvere il problema.

Passaggio per un punto e conoscenza della eccentricità

L'eccentricità é rappresentate da una relazione tra un semiasse e la distanza focale che ci fornisce una condizione, l’altra relazione si ricava dall’appartenanza di un punto alla curva, basta quindi sostituire le coordinate del punto nell’equazione della curva per risolvere il problema.

Conoscenza della eccentricità e conoscenza della misura di uno dei semiassi.

L'eccentricità é rappresentate da una relazione tra un semiasse e la distanza focale e ci fornisce una condizione l'altra verrà dalla conoscenza della misura del semiasse, infatti nella equazione canonica dell’ellisse abbiamo sostituiamo il valore del semiasse abbiamo così la seconda relazione che unita a quella della eccentricità consante di risolvere il problema.

Conoscenza della eccentricità e conoscenza del fuoco.

L’eccentricità é rappresentate da una relazione tra un semiasse e la distanza focale e ci fornisce una condizione l’altra verrà dalla conoscenza del fuoco.

Esempio 2

Determinare l’equazione dell’ellisse avente fuoco e eccentricità .

Essendo il fuoco con ascissa zero, deduciamo che si tratta di una ellisse con asse maggiore sull’asse delle . Quindi possiamo usare la definizione di eccentricità

da cui possiamo ricavare b

poi ricordiamo che

sostituendo il valore di b ed elevando al quadrato cui ricaviamo

L’equazione dell’ellisse sarà