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Probabilità composta per eventi indipendenti

Due eventi Studenti/matematica e Studenti/matematica si dicono indipendenti quando il verificarsi di Studenti/matematica non influenza la probabilità che si verifichi Studenti/matematica e viceversa.

Per due eventi indipendenti, sussiste la regola della moltiplicazione per eventi indipendenti

Studenti/matematica
Studenti/matematica
1

La (1) è anche definita come probabilità composta per eventi indipendenti.

Ad esempio, esaminando il quesito: “Trovare la probabilità che estraendo una carta da un mazzo di 40 essa sia un asso oppure una figura”, si può osservare che l’evento Studenti/matematica “uscita di un asso” e l’evento Studenti/matematica “uscita di una figura” sono tra loro indipendenti.

Sia Studenti/matematica un evento composto da più eventi Studenti/matematica, Studenti/matematica,...Studenti/matematica indipendenti. La probabilità dell’evento composto è uguale al prodotto delle probabilità degli eventi componenti

Studenti/matematica

allora

Studenti/matematica
2

Esempio 2

Si calcoli la probabilità che estraendo successivamente due carte da un mazzo di 40 e rimettendo la prima carta estratta nel mazzo, siano la prima una figura e la seconda un asso.

La probabilità cercata è composta dai due eventi Studenti/matematica “uscita di una figura” e Studenti/matematica “uscita di un asso”.

Si osservi che prima deve uscire una figura e poi deve uscire un asso e devono accadere entrambi gli eventi, ma, poichè la prima carta estratta viene inserita nuovamente nel mazzo, il primo evento non influisce sul secondo.

È possibile, quindi, applicare il teorema della probabilità composta per eventi indipendenti, ossia:

Studenti/matematica

Considerando che le figure sono 12 si ha:

Studenti/matematica

e considerando che gli assi sono 4 si ha:

Studenti/matematica

Pertanto, utilizzando la (1), la probabilità composta è data da:

Studenti/matematica
3

Esempio 2

Si calcoli la probabilità che estraendo successivamente due carte da un mazzo di 40, senza rimettere la prima estratta nel mazzo, siano la prima una figura e la seconda un asso.

La probabilità cercata è composta dai due eventi Studenti/matematica “uscita di una figura” e Studenti/matematica “uscita di un asso”.

Si osservi che prima deve uscire una figura e poi deve uscire un asso e devono accadere entrambi gli eventi, ma, poichè la prima carta estratta non viene inserita nuovamente nel mazzo, il primo evento influisce sul secondo, in quanto, nel calcolo della probabilità del secondo evento si ha una carta in meno per i casi possibili.

È possibile, comunque, applicare il teorema della probabilità composta opportunamente modificato, ossia:

Studenti/matematica

dove Studenti/matematica è la probabilità che si verifichi l’evento Studenti/matematica sapendo che si è già verificato l’evento Studenti/matematica. Considerando che le figure sono 12 si ha:

Studenti/matematica

e considerando che gli assi sono 4 ma che le carte rimaste dopo l’uscita della prima carta sono 39 e non 40, si ha:

Studenti/matematica

Pertanto, utilizzando la (2), la probabilità composta è data da:

Studenti/matematica

che è diversa da quella ottenuta nella (3).