Consideriamo l’equazione quadratica della parabola
riepiloghiamo alcuni casi particolari che si possono presentare.
-
Se
, 
e 
, allora l’equazioni si riduce a 
che rappresenta le parabole con il vertice nell’origine 
e asse di simmetria l’asse delle 
.
-
Se
, 
e 
, allora l’equazione si riduce a 
che rappresenta le parabole passanti per l’origine 
ed asse di simmetria parallelo all’asse 
.
-
Se
, 
e 
, allora l’equazione si riduce a 
che rappresenta le parabole con asse di simmetria coincidente con l’asse 
e con vertice 
punto di intersezione della parabola con l’asse 
.
Facciamo un esempio
Esempio 1
Tracciare il grafico della curva di equazione 
.
I coefficienti della curva sono
quindi ci troviamo nell’ultimo caso visto, ossia quello delle parabole con asse di simmetria l’asse della 
e vertice in (0; c).
Dunque, abbiamo
Poiché la parabola ha la concavità verso l’alto (
), le intersezioni della parabola con l’asse 
sono i punti 
e 
, ottenuti ponendo 
nella equazione della parabola.
Possiamo ora tracciare la curva.
Parabola con asse parallelo all’asse delle x
Studiamo adesso una particolare parabola, quella che ha per asse di simmetria l’asse delle 
o una retta ad esso parallela.
Se la direttrice 
é parallela all’asse 
essa ha equazione 
, l’equazione
rappresenta una parabola con direttrice 
ed asse di simmetria parallelo all’asse delle 
. In pratica, la parabola descritta dalla (1) si ottiene scambiando la 
con 
nell’equazione
in quanto la parabola con asse parallelo all’asse delle 
può essere vista come la curva simmetrica, rispetto alla retta 
, della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle y.
Anche per l’equazione (1) possiamo considerare alcuni casi particolari.
-
Se a≠0, b=0 e c≠0, allora l’equazione (1) diventa
che rappresenta una parabola con asse di simmetria coincidente con l’asse 
e con vertice 
punto di intersezione della parabola con l’asse 
. -
Se
, 
e 
, allora l’equazione (1) diventa 
che rappresenta l’equazione della parabola passante per l’origine 
. -
Se
, 
e 
, allora l’equazione (1) diventa 
che rappresenta la parabola che ha vertice 
ossia nell’origine delle coordinate.
Senza darne ulteriore dimostrazione, vediamo adesso come si calcolano gli altri elementi della parabola.
Il fuoco e vertice sono
e la direttrice e l’asse di simmetria sono
dove come fatto in precedenza si pone 
.
Vediamo, infine, la caratteristica della concavità in funzione del coefficiente a. Si ha che
-
Se
, la parabola ha la concavità rivolta nella direzione positiva dell'asse x (il vertice ha ascissa minima) -
Se
, la parabola ha la concavità rivolta nella direzione negativa dell'asse x (il vertice ha ascissa massima)
Esempio
Tracciare il grafico della curva di equazione
dopo aver trovato fuoco, vertice e direttrice.
Utilizziamo le formule viste in precedenza per individuare i punti richiesti sapendo che
L'asse della parabola é
il fuoco ha coordinate
il vertice
Infine, la direttrice ha equazione
Segmento parabolico
Sia 
con 
l’equazione di una parabola con vertice in 
e siano 
e 
con 
sono due punti della parabola, allora la parte di piano delimitata dall'arco di parabola 
e dal segmento 
si definisce segmento parabolico.
L’area 
é la differenza tra l'area del rettangolo 
e quella delimitata dall'arco 
con i segmenti 
, 
e 
. Tralasciando i passaggi perveniamo al Teorema di Archimede che esprime una importante relazione: detta 
l’area del segmento parabolico, si ha
ossia
L'area del segmento parabolico 
é uguale ai 
dell’area del rettangolo 
Questo teorema vale anche se la corda 
non é parallela all'asse x.