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Parabola con asse parallelo all'asse delle y

Se la direttrice Studenti/matematica di una parabola con vertice Studenti/matematica é parallela all’asse Studenti/matematica, allora avrà equazione Studenti/matematica e l’asse di simmetria della parabola risulta parallelo all'asse Studenti/matematica. Per trovare la sua equazione, partiamo dall’equazione della parabola con vertice nell’origine degli assi Studenti/matematica, che è

Studenti/matematica
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Facendo ricorso alla traslazione di assi, portiamo l’origine degli assi da Studenti/matematica in Studenti/matematica, e riscriviamo la (1) nel sistema traslato Studenti/matematica

Studenti/matematica

Ricordando le formule della traslazione

Studenti/matematica
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da cui

Studenti/matematica
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applichiamo le (3) alla (1) ed abbiamo:

Studenti/matematica
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che rappresenta l’equazione della parabola traslata. Ora sviluppando l’equazione (4) abbiamo

Studenti/matematica

e ponendo

Studenti/matematica
Studenti/matematica

si ottiene

Studenti/matematica
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che rappresenta l’equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse Studenti/matematica, nel sistema di riferimento Studenti/matematica, con la condizione che Studenti/matematica.

Possiamo dare ora questi importanti elementi, evitandone la dimostrazione.

Ricordando che indichiamo Studenti/matematica si hanno i seguenti risultati:

Coordinate del vertice

Studenti/matematica
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Equazione dell’asse di simmetria della parabola (una retta parallela all’asse Studenti/matematica passante per il vertice)

Studenti/matematica

Coordinate del fuoco

Studenti/matematica
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Equazione della direttrice

Studenti/matematica
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Aggiungiamo che il coefficiente Studenti/matematica caratterizza la concavità della parabola, infatti si hanno i seguenti casi.

  • Se Studenti/matematica la parabola ha la concavità rivolta verso l’alto (il vertice é nel punto più basso ossia di ordinata minima)

    Studenti/matematica

  • Se Studenti/matematica, la parabola ha la concavità rivolta verso il basso (il vertice é nel punto più alto ossia di ordinata massima)

    Studenti/matematica

  • Se Studenti/matematica, la (5) diventa l’equazione di una retta Studenti/matematica

    Studenti/matematica

Osserviamo che il valore assoluto del coefficiente Studenti/matematica nella (5) influenzando la convessità della parabola ne determina anche il grado di apertura. Questa caratteristica è ancora più evidente nella parabola con vertice nell’origine degli assi Studenti/matematica. La figura che segue illustra diverse parabole al variare del coefficiente Studenti/matematica, positivo.

Studenti/matematica

I coefficienti Studenti/matematica e Studenti/matematica non influenzano l'apertura della parabola ma definiscono la posizione della curva nel piano.

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Si dicono congruenti (sovrapponibili) tutte le parabole con lo stesso coefficiente di secondo grado.

Esempio

Data la parabola di equazione

Studenti/matematica

determinare il vertice, il fuoco, la direttrice e l’asse di simmetria. Infine, disegnare la parabola.

I coefficienti della parabola sono:

Studenti/matematica

quindi calcoliamo immediatamente il discriminante Studenti/matematica che ci serve per calcolare praticamente ogni altro valore.

Studenti/matematica

dalla (6) ricaviamo il vertice

Studenti/matematica

dalla (7) il fuoco

Studenti/matematica

e dalla (8) la direttrice

Studenti/matematica
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e l’asse di simmetrica ha equazione Studenti/matematica.

Poiché Studenti/matematica la concavità della curva è rivolta verso l’alto.

Per disegnare la curva abbiamo bisogno anche dei punti di intersezione della curva con gli assi:

Studenti/matematica

da cui ricaviamo i punti Studenti/matematica e Studenti/matematica.

Troviamo le intersezione con l’asse delle Studenti/matematica, di equazione Studenti/matematica

Studenti/matematica

e troviamo il punto Studenti/matematica. Ora possiamo tracciare il grafico

Studenti/matematica