Se la direttrice di una parabola con vertice é parallela all’asse , allora avrà equazione e l’asse di simmetria della parabola risulta parallelo all'asse . Per trovare la sua equazione, partiamo dall’equazione della parabola con vertice nell’origine degli assi , che è

Facendo ricorso alla traslazione di assi, portiamo l’origine degli assi da in , e riscriviamo la (1) nel sistema traslato

Ricordando le formule della traslazione

da cui

applichiamo le (3) alla (1) ed abbiamo:

che rappresenta l’equazione della parabola traslata. Ora sviluppando l’equazione (4) abbiamo

e ponendo

si ottiene

che rappresenta l’equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse , nel sistema di riferimento , con la condizione che .

Possiamo dare ora questi importanti elementi, evitandone la dimostrazione.

Ricordando che indichiamo si hanno i seguenti risultati:

Coordinate del vertice

Equazione dell’asse di simmetria della parabola (una retta parallela all’asse passante per il vertice)

Coordinate del fuoco

Equazione della direttrice

Aggiungiamo che il coefficiente caratterizza la concavità della parabola, infatti si hanno i seguenti casi.

• Se la parabola ha la concavità rivolta verso l’alto (il vertice é nel punto più basso ossia di ordinata minima)

  

• Se , la parabola ha la concavità rivolta verso il basso (il vertice é nel punto più alto ossia di ordinata massima)

  

• Se , la (5) diventa l’equazione di una retta

  

Osserviamo che il valore assoluto del coefficiente nella (5) influenzando la convessità della parabola ne determina anche il grado di apertura. Questa caratteristica è ancora più evidente nella parabola con vertice nell’origine degli assi . La figura che segue illustra diverse parabole al variare del coefficiente , positivo.

I coefficienti e non influenzano l'apertura della parabola ma definiscono la posizione della curva nel piano.

Si dicono congruenti (sovrapponibili) tutte le parabole con lo stesso coefficiente di secondo grado.

Esempio

Data la parabola di equazione

determinare il vertice, il fuoco, la direttrice e l’asse di simmetria. Infine, disegnare la parabola.

I coefficienti della parabola sono:

quindi calcoliamo immediatamente il discriminante che ci serve per calcolare praticamente ogni altro valore.

dalla (6) ricaviamo il vertice

dalla (7) il fuoco

e dalla (8) la direttrice

e l’asse di simmetrica ha equazione .

Poiché la concavità della curva è rivolta verso l’alto.

Per disegnare la curva abbiamo bisogno anche dei punti di intersezione della curva con gli assi:

da cui ricaviamo i punti e .

Troviamo le intersezione con l’asse delle , di equazione

e troviamo il punto . Ora possiamo tracciare il grafico