La parabola é il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da una retta detta direttrice e da un punto detto fuoco.

Gli enti che consideriamo sono riferibili ad una coppia di assi ortogonali la cui caratteristica é:

• l’asse passante per il fuoco

• la direttrice perpendicolare all’asse

• l’origine (vertice della parabola) é equidistante da e da

La retta per l’origine perpendicolare alla direttrice (asse in questo caso) é l’asse di simmetria della parabola. L’equazione di questa parabola é

e viene detta equazione canonica della parabola.

Precisiamo che i punti della parabola si trovano dalla stessa parte del fuoco rispetto alla direttrice .

L’equazione (1) si ottiene facilmente partendo dalla definizione di parabola come luogo, cioé dove é il piede della perpendicolare da alla direttrice. Se indichiamo con la distanza tra il fuoco e la direttrice , possiamo scrivere le coordinate del fuoco come

e del punto di intersezione tra la direttrice e l’asse delle come

come mostrato in figura

da ciò, considerando il generico punto ed il punto e ricordando la formula per il calcolo della distanza di due punti

riscriviamo i due segmenti e come

da cui, riscrivendo la condizione della definzioni di parabola

sviluppando i calcoli

ponendo si ottiene la (1). Da tale posizione, riscriviamo pure le coordinate del fuoco e l’equazione della direttrice .

L’equazione rappresenta una funzione simmetrica rispetto all’asse infatti il valore della funzione per valori opposti di é lo stesso .

Aggiungiamo, infine, le seguenti deduzioni.

1. Se le sono positive per e la parabola ha la concavità rivolta verso l’altro

   

2. Se le sono negative per e la parabola ha la concavità rivolta verso il basso

   

Esempio

Trovare il luogo dei punti equidistanti da e dalla retta d di equazione . Tracciare il grafico.

Dalla definizione di luogo possiamo dire che la curva da trovare è una parabola ed essendo la direttrice parallela all’asse l’asse di simmetria è parallelo all’asse .

Imponiamo la posizione

dove è la distanza dalla direttrice al punto , abbiamo:

il coefficiente è positivo, la parabola ha concavità verso l’alto.

Possiamo ora disegnare la curva