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Parabola come luogo geometrico

La parabola é il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da una retta Studenti/matematica detta direttrice e da un punto Studenti/matematica detto fuoco.

Studenti/matematica

Gli enti che consideriamo sono riferibili ad una coppia di assi ortogonali la cui caratteristica é:

  • l’asse Studenti/matematica passante per il fuoco Studenti/matematica

  • la direttrice Studenti/matematica perpendicolare all’asse Studenti/matematica

  • l’origine Studenti/matematica (vertice della parabola) é equidistante da Studenti/matematica e da Studenti/matematica

La retta per l’origine Studenti/matematica perpendicolare alla direttrice (asse Studenti/matematica in questo caso) é l’asse di simmetria della parabola. L’equazione di questa parabola é

Studenti/matematica
1

e viene detta equazione canonica della parabola.

Precisiamo che i punti della parabola si trovano dalla stessa parte del fuoco rispetto alla direttrice Studenti/matematica.

L’equazione (1) si ottiene facilmente partendo dalla definizione di parabola come luogo, cioé Studenti/matematica dove Studenti/matematica é il piede della perpendicolare da Studenti/matematica alla direttrice. Se indichiamo con Studenti/matematica la distanza tra il fuoco e la direttrice Studenti/matematica, possiamo scrivere le coordinate del fuoco come

Studenti/matematica

e del punto Studenti/matematica di intersezione tra la direttrice e l’asse delle Studenti/matematica come

Studenti/matematica

come mostrato in figura

Studenti/matematica

da ciò, considerando il generico punto Studenti/matematica ed il punto Studenti/matematica e ricordando la formula per il calcolo della distanza di due punti

Studenti/matematica

riscriviamo i due segmenti Studenti/matematica e Studenti/matematica come

Studenti/matematica
Studenti/matematica

da cui, riscrivendo la condizione della definzioni di parabola

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

sviluppando i calcoli

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

ponendo Studenti/matematica si ottiene la (1). Da tale posizione, riscriviamo pure le coordinate del fuoco Studenti/matematica e l’equazione della direttrice Studenti/matematica.

L’equazione Studenti/matematica rappresenta una funzione Studenti/matematica simmetrica rispetto all’asse Studenti/matematica infatti il valore della funzione per valori opposti di Studenti/matematica é lo stesso Studenti/matematica.

Aggiungiamo, infine, le seguenti deduzioni.

  1. Se Studenti/matematica le Studenti/matematica sono positive per Studenti/matematica e la parabola ha la concavità rivolta verso l’altro

    Studenti/matematica
  2. Se Studenti/matematica le Studenti/matematica sono negative per Studenti/matematica e la parabola ha la concavità rivolta verso il basso

    Studenti/matematica

Esempio

Trovare il luogo dei punti Studenti/matematica equidistanti da Studenti/matematica e dalla retta d di equazione Studenti/matematica. Tracciare il grafico.

Dalla definizione di luogo possiamo dire che la curva da trovare è una parabola ed essendo la direttrice Studenti/matematica parallela all’asse Studenti/matematica l’asse di simmetria è parallelo all’asse Studenti/matematica.

Imponiamo la posizione

Studenti/matematica

dove Studenti/matematica è la distanza dalla direttrice al punto Studenti/matematica, abbiamo:

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

il coefficiente Studenti/matematica è positivo, la parabola ha concavità verso l’alto.

Possiamo ora disegnare la curva

Studenti/matematica