Spesso può capitare che bisogna calcolare il limite di una funzione che appare complessa ma che ad un esame più attento può essere vista come la composizione, tramite operazioni aritmetiche, di espressioni più semplici. In tali casi, risulta molto utile la conoscenza di come si comportano i limiti in presenza di operazioni sulle funzioni. Parliamo, appunto, di alcune operazione fondamentali che si possono effettuare con i limiti.

Date due funzioni e definite in un intorno , escluso al più .

Se

e

con ( è il simbolo con cui si indica la retta estesa ossia l’insieme , si ricorda che non sono numeri) ed e , vediamo cosa accade per le funzioni ottenute con le seguenti operazioni:

Introduciamo ora alcuni teoremi che forniscono indicazioni proprio su cosa accade nei quattro punti sopra riportati.

Teorema 1

Il limite della somma di due funzioni è uguale alla somma dei limiti delle funzioni se i limiti sono finiti. Pertanto, se e sono due funzioni che verificano le condizioni (1) e (2) otteniamo:

Teorema 2

Il limite del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto dei limiti delle funzioni se i limiti sono finiti. Pertanto, se e sono due funzioni che verificano le condizioni (1) e (2) otteniamo:

Teorema 3

Il limite del rapporto di due funzioni è uguale al rapporto dei limiti delle funzioni se i limiti sono finiti e se il limite della funzione al denominatore è . Pertanto, se e sono due funzioni che verificano le condizioni (1) e (2) otteniamo:

Conseguenza diretta del precedente teorema è il seguente

Teorema 4

Data una funzione che ha limite in , se

allora si ha:

e se

si ha quindi

Teorema 5

Data una funzione che ha limite in , e dato un numero reale , si ha:

Teorema 6

Data due funzioni e che hanno limiti e in e dati due numeri reali e si ha

Teorema 7

Data una funzione che ha limite in e dato un numero naturale , si ha

Da questo risultato possiamo anche dedurre che se la funzione si presenta nella forma

ed ha limite in allora vale

Teorema 8

Data una funzione tale che si ha

ed esiste un intorno sia (), si ha:

allora la retta è un asintoto verticale per la funzione

Facciamo un esempio in merito a questo ultimo teorema.

Esempio 1

Consideriamo una funzione che ha un limite zero in un punto . Ad esempio la funzione definita in ℝ, ha

e poiché si verifica che , possiamo considerare

Quindi, per il Teorema 8, la retta è un asintoto verticale per la funzione

Vediamo il grafico

Diamo ancora una serie di brevi e semplici risultati sotto forma di teoremi sulle proprietà dei limiti, molto utili nella risoluzione di esercizi e quesiti, ricordando comunque che stiamo esaminando solo i limiti finiti.

Esempio 2

Data la funzione definita , calcolare il seguente limite

dal Teorema 5, possiamo scrivere

Esempio 3

Data la funzione definita , calcolare il seguente limite

dalla proprietà 4) di sopra, possiamo scrivere

poi dal Teorema 1 sul limite della somma, possiamo anche scrivere

infine, applicando ancora il Teorema 5 al primo dei due limiti ottenuti, possiamo giungere al risultato

Esempio 4

Calcolare il seguente limite:

Abbiamo: