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Operazioni con i limiti

Spesso può capitare che bisogna calcolare il limite di una funzione che appare complessa ma che ad un esame più attento può essere vista come la composizione, tramite operazioni aritmetiche, di espressioni più semplici. In tali casi, risulta molto utile la conoscenza di come si comportano i limiti in presenza di operazioni sulle funzioni. Parliamo, appunto, di alcune operazione fondamentali che si possono effettuare con i limiti.

Date due funzioni Studenti/matematica e Studenti/matematica definite in un intorno Studenti/matematica, escluso al più Studenti/matematica.

Se

Studenti/matematica
1

e

Studenti/matematica
2

con Studenti/matematica (Studenti/matematica è il simbolo con cui si indica la retta estesa ossia l’insieme Studenti/matematica, si ricorda che Studenti/matematica non sono numeri) ed Studenti/matematica e Studenti/matematica, vediamo cosa accade per le funzioni ottenute con le seguenti operazioni:

  1. Studenti/matematica

  2. Studenti/matematica

  3. Studenti/matematica

  4. Studenti/matematica

Introduciamo ora alcuni teoremi che forniscono indicazioni proprio su cosa accade nei quattro punti sopra riportati.

Teorema 1

Il limite della somma di due funzioni è uguale alla somma dei limiti delle funzioni se i limiti sono finiti. Pertanto, se Studenti/matematica e Studenti/matematica sono due funzioni che verificano le condizioni (1) e (2) otteniamo:

Studenti/matematica

Teorema 2

Il limite del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto dei limiti delle funzioni se i limiti sono finiti. Pertanto, se Studenti/matematica e Studenti/matematica sono due funzioni che verificano le condizioni (1) e (2) otteniamo:

Studenti/matematica

Teorema 3

Il limite del rapporto di due funzioni è uguale al rapporto dei limiti delle funzioni se i limiti sono finiti e se il limite della funzione al denominatore è Studenti/matematica. Pertanto, se Studenti/matematica e Studenti/matematica sono due funzioni che verificano le condizioni (1) e (2) otteniamo:

Studenti/matematica

Conseguenza diretta del precedente teorema è il seguente

Teorema 4

Data una funzione Studenti/matematica che ha limite Studenti/matematica in Studenti/matematica, se

Studenti/matematica

allora si ha:

Studenti/matematica

e se

Studenti/matematica

si ha quindi

Studenti/matematica

Teorema 5

Data una funzione Studenti/matematica che ha limite Studenti/matematica in Studenti/matematica, e dato un numero reale Studenti/matematica, si ha:

Studenti/matematica

Teorema 6

Data due funzioni Studenti/matematica e Studenti/matematica che hanno limiti Studenti/matematica e Studenti/matematica in Studenti/matematica e dati due numeri reali Studenti/matematica e Studenti/matematica si ha

Studenti/matematica

Teorema 7

Data una funzione Studenti/matematica che ha limite Studenti/matematica in Studenti/matematica e dato un numero naturale Studenti/matematica, si ha

Studenti/matematica

Da questo risultato possiamo anche dedurre che se la funzione Studenti/matematica si presenta nella forma

Studenti/matematica

ed ha limite Studenti/matematica in Studenti/matematica allora vale

Studenti/matematica

Teorema 8

Data una funzione Studenti/matematica tale che si ha

Studenti/matematica

ed esiste un intorno Studenti/matematica sia Studenti/matematica (Studenti/matematica), si ha:

Studenti/matematica

allora la retta Studenti/matematica è un asintoto verticale per la funzione Studenti/matematica

Facciamo un esempio in merito a questo ultimo teorema.

Esempio 1

Consideriamo una funzione che ha un limite zero in un punto Studenti/matematica. Ad esempio la funzione Studenti/matematica definita in ℝ, ha

Studenti/matematica

e poiché si verifica che Studenti/matematica, possiamo considerare

Studenti/matematica

Quindi, per il Teorema 8, la retta Studenti/matematica è un asintoto verticale per la funzione

Studenti/matematica

Vediamo il grafico

Studenti/matematica

Diamo ancora una serie di brevi e semplici risultati sotto forma di teoremi sulle proprietà dei limiti, molto utili nella risoluzione di esercizi e quesiti, ricordando comunque che stiamo esaminando solo i limiti finiti.

  1. Studenti/matematica

  2. Studenti/matematica

  3. Studenti/matematica

  4. Studenti/matematica

  5. Studenti/matematica

  6. Studenti/matematica

Esempio 2

Data la funzione Studenti/matematica definita Studenti/matematica, calcolare il seguente limite

Studenti/matematica

dal Teorema 5, possiamo scrivere

Studenti/matematica

Esempio 3

Data la funzione Studenti/matematica definita Studenti/matematica, calcolare il seguente limite

Studenti/matematica

dalla proprietà 4) di sopra, possiamo scrivere

Studenti/matematica

poi dal Teorema 1 sul limite della somma, possiamo anche scrivere

Studenti/matematica

infine, applicando ancora il Teorema 5 al primo dei due limiti ottenuti, possiamo giungere al risultato

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Esempio 4

Calcolare il seguente limite:

Studenti/matematica

Abbiamo:

Studenti/matematica
Studenti/matematica