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Moda e mediana

Oltre la media aritmetica, anche la moda e la mediana sono indici numerici utili per descrivere un insieme di dati numerici e la loro distribuzione delle frequenze e quindi anche la moda e la mediana sono detti indici di posizione.

Definizione 1

Si chiama moda (o moda campionaria) degli Studenti/matematica elementi Studenti/matematica l’elemento (o gli elementi) a cui corrisponde la massima frequenza assoluta.

È facile dedurre che la moda campionaria non è influenzata da valori estremi e può essere usata anche per dati non numerici, cioè dati qualitativi. Si osservi che la moda campionaria può non esistere o non essere unica.

Definizione 2

Si chiama mediana (o mediana campionaria) di una serie di Studenti/matematica dati ordinati Studenti/matematica il valore centrale della serie, cioè il valore che occupa il posto Studenti/matematica nella serie se Studenti/matematica è dispari o la media dei valori che occupano i posti Studenti/matematica ed Studenti/matematica+1 se Studenti/matematica è pari.

Anche la mediana, come la media si riferisce solo a dati numerici, cioè a dati quantitativi.

Esempio

Ai 23 alunni di una classe è stato chiesto di indicare il tempo impiegato a raggiungere la scuola. Le risposte sono riportate nella seguente tabella

Studenti/matematica

Calcolare media, moda e mediana campionaria dei tempi di percorrenza.

Per calcolare la media campionaria è necessario fare la somma dei tempi impiegati diviso il numero totale di alunni, si ha perciò:

Studenti/matematica
1

Per calcolare la moda campionaria dei tempi è necessario costruire la distribuzione di frequenza dei tempi, ossia associare ad ogni valore del tempo la sua frequenza assoluta, come in tabella

Studenti/matematica

Si ricava facilmente che la moda dei tempi è il valore 5 poichè è quello che si presenta il maggior numero di volte (si presenta infatti con frequenza assoluta uguale a 5).

Per calcolare la mediana campionaria dei tempi è necessario disporre in ordine crescente i 23 valori che indicano i tempi di percorrenza

Studenti/matematica

Essendo Studenti/matematica, ossia Studenti/matematica è dispari, la mediana campionaria è data dal valore in posizione Studenti/matematica, ossia in posizione Studenti/matematica. Pertanto la media campionaria è 7.

Nel caso in cui i valori fossero stati 22, escludendo per esempio il valore 20 che compare per ultimo nella sequenza dei dati, si sarebbe dovuto calcolare la media dei valori che occupano le posizioni Studenti/matematica (che corrisponde al 6) ed Studenti/matematica (che corriponde al 7) e cioè la media sarebbe stata Studenti/matematica.

È importante osservare il significato degli indici calcolati:

  • media campionaria = 8, significa che ciascun alunno impiegherebbe 8 minuti per arrivare a scuola se tutti impiegassero lo stesso tempo

  • moda campionaria = 5, significa che il maggior numero di alunni impiega 5 minuti per arrivare a scuola

  • mediana campionaria = 7, significa che circa la metà degli alunni impiega meno di 7 minuti per raggiungere la scuola e circa la metà ne impiega più di 7.