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Misura di un insieme e area del trapezoide

Ci occupiamo ora del calcolo delle aree, problema affrontato dai matematici in passato con tecniche che risolvevano alcune limitate aree, delimitate da curve piane (metodo di esaustione). Noi cercheremo di generalizzare il problema tenendo conto delle conoscenze acquisite negli argomenti che precedono questo modulo.

Misura di un insieme

Consideriamo al solito la funzione, non negativa, Studenti/matematica continua in un intervallo Studenti/matematica.

Prendiamo in esame l’insieme Studenti/matematica limitato dall'asse Studenti/matematica, dai segmenti verticali di ascissa rispettivamente Studenti/matematica e Studenti/matematica e dal grafico di Studenti/matematica. Questa parte di piano Studenti/matematica la chiamiamo trapezoide (rettangoloide) di base Studenti/matematica ed altezza Studenti/matematica. L’area Studenti/matematica é di facile risoluzione quando abbiamo a che fare con funzioni lineari ma già più complicato é il caso di funzioni i cui polinomi sono di secondo grado, immaginiamo come diventa difficile calcolarla per funzioni polinomiali di grado superiore.

La misura di un insieme del piano che chiamiamo area é un numero di facile calcolo per delle figure piane regolari, peraltro un proprietà precipua della misura dell’area é l'additività che utilizziamo sia quando la figura è decomponibile in più rettangoli che in triangoli. Una procedura empirica per la misura dell'area di insiemi Studenti/matematica diversi dai poligoni é un metodo di approssimazione ottenuto considerando tutti i rettangoli contenuti nella figura (diciamo l’insieme Studenti/matematica) e tutti quelli (diciamo Studenti/matematica) contenenti la figura. La suddivisione così ottenuta ed il relativo calcolo dei Studenti/matematica e Studenti/matematica, se grande é il numero dei rettangoli, consente di approssimare di molto la misura della figura che abbiamo così suddiviso. Questa duplice classe di aree Studenti/matematica e Studenti/matematica determina una coppia di classi contigue degli insiemi misurabili Studenti/matematica.

Studenti/matematica

Si ricorda che due insiemi numerici infiniti Studenti/matematica e Studenti/matematica costituiscono una coppia di classi contigue se godono delle due proprietà:

  1. sono separate, cioè ogni elemento della prima classe è minore di ogni elemento della seconda;

  2. preso comunque un numero Studenti/matematica, è possibile determinare un elemento della seconda classe e uno della prima classe la cui differenza è minore di Studenti/matematica (proprietà dell'avvicinamento indefinito).

Area del trapezoide

Consideriamo ora la funzione, non negativa, Studenti/matematica continua in un intervallo Studenti/matematica.

Scriviamo l'insieme Studenti/matematica dei punti con le seguenti caratteristiche:

Studenti/matematica

L’insieme Studenti/matematica viene definito trapezoide (o rettangoloide), vediamo di calcolare un valore approssimato dell’area di tale insieme. Poiché Studenti/matematica é continua in Studenti/matematica lo é in ogni intervallo di Studenti/matematica e per il teorema di Weiestrass ammette nell'iesimo intervallo un massimo assoluto Studenti/matematica ed un minimo assoluto Studenti/matematica, suddiviso l’intervallo Studenti/matematica in intervalli di ampiezza costante

Studenti/matematica

Consideriamo le somme

Studenti/matematica
Studenti/matematica

esse sono rispettivamente le somme delle aree dei rettangoli inscritti e circoscritti che occupano, rispettivamente, un'area contenuta ed una contenente l'area Studenti/matematica (plurirettangoli inscritti e circoscritti). Le figure che seguono illustrano meglio questo concetto.

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Pertanto, si vede immediatamente che vale la seguente relazione

Studenti/matematica

Le suddivisioni successive di Studenti/matematica in Studenti/matematica parti uguali determinano particolari valori di Studenti/matematica e di Studenti/matematica, otteniamo così due successioni

Studenti/matematica
1
Studenti/matematica
2

le due successioni (1) e (2) sono convergenti e convergono allo stesso limite che, quanto più grande é Studenti/matematica tanto più si avvicinano, nel nostro caso all'area Studenti/matematica; il limite delle due successioni si chiama area del rettangoloide, esso viene indicato con il simbolo

Studenti/matematica

e si legge integrale definito della funzione Studenti/matematica relativo all'intervallo Studenti/matematica.