Ci occupiamo ora del calcolo delle aree, problema affrontato dai matematici in passato con tecniche che risolvevano alcune limitate aree, delimitate da curve piane (metodo di esaustione). Noi cercheremo di generalizzare il problema tenendo conto delle conoscenze acquisite negli argomenti che precedono questo modulo.
Misura di un insieme
Consideriamo al solito la funzione, non negativa, 
continua in un intervallo 
.
Prendiamo in esame l’insieme 
limitato dall'asse 
, dai segmenti verticali di ascissa rispettivamente 
e 
e dal grafico di 
. Questa parte di piano 
la chiamiamo trapezoide (rettangoloide) di base 
ed altezza 
. L’area 
é di facile risoluzione quando abbiamo a che fare con funzioni lineari ma già più complicato é il caso di funzioni i cui polinomi sono di secondo grado, immaginiamo come diventa difficile calcolarla per funzioni polinomiali di grado superiore.
La misura di un insieme del piano che chiamiamo area é un numero di facile calcolo per delle figure piane regolari, peraltro un proprietà precipua della misura dell’area é l'additività che utilizziamo sia quando la figura è decomponibile in più rettangoli che in triangoli. Una procedura empirica per la misura dell'area di insiemi 
diversi dai poligoni é un metodo di approssimazione ottenuto considerando tutti i rettangoli contenuti nella figura (diciamo l’insieme 
) e tutti quelli (diciamo 
) contenenti la figura. La suddivisione così ottenuta ed il relativo calcolo dei 
e 
, se grande é il numero dei rettangoli, consente di approssimare di molto la misura della figura che abbiamo così suddiviso. Questa duplice classe di aree 
e 
determina una coppia di classi contigue degli insiemi misurabili 
.
Si ricorda che due insiemi numerici infiniti 
e 
costituiscono una coppia di classi contigue se godono delle due proprietà:
-
sono separate, cioè ogni elemento della prima classe è minore di ogni elemento della seconda;
-
preso comunque un numero
, è possibile determinare un elemento della seconda classe e uno della prima classe la cui differenza è minore di 
(proprietà dell'avvicinamento indefinito).
Area del trapezoide
Consideriamo ora la funzione, non negativa, 
continua in un intervallo 
.
Scriviamo l'insieme 
dei punti con le seguenti caratteristiche:
L’insieme 
viene definito trapezoide (o rettangoloide), vediamo di calcolare un valore approssimato dell’area di tale insieme. Poiché 
é continua in 
lo é in ogni intervallo di 
e per il teorema di Weiestrass ammette nell'iesimo intervallo un massimo assoluto ed un minimo assoluto 
, suddiviso l’intervallo 
in intervalli di ampiezza costante
Consideriamo le somme
esse sono rispettivamente le somme delle aree dei rettangoli inscritti e circoscritti che occupano, rispettivamente, un'area contenuta ed una contenente l'area 
(plurirettangoli inscritti e circoscritti). Le figure che seguono illustrano meglio questo concetto.
Pertanto, si vede immediatamente che vale la seguente relazione
Le suddivisioni successive di 
in 
parti uguali determinano particolari valori di 
e di 
, otteniamo così due successioni
le due successioni (1) e (2) sono convergenti e convergono allo stesso limite che, quanto più grande é 
tanto più si avvicinano, nel nostro caso all'area 
; il limite delle due successioni si chiama area del rettangoloide, esso viene indicato con il simbolo
e si legge integrale definito della funzione 
relativo all'intervallo 
.