La media geometrica, la media armonica e la media quadratica sono indici numerici atti a descrivere sinteticamente un insieme di dati.

Definizione 1

Si chiama media geometrica di numeri positivi il numero positivo espresso dalla radice del prodotto dei numeri

Il concetto di media geometrica è strettamente collegato a quello di media aritmetica, come si evince dalla seguenti proprietà

1. Il logaritmo della media geometrica di numeri positivi coincide con la media aritmetica dei logaritmi degli n numeri

   

2. la media geometrica delle potenze coincide con la stessa potenza di.

   

Osservando il grafico della funzione logaritmo riportato in figura, si può osservare che per ogni coppia di valori ed , si ha

Generalizzando l’osservazione per valori e utilizzando la (4), si può dedurre che la media aritmetica di valori è sempre maggiore o uguale della loro media geometrica

Esempio 1

Assegnati i 5 numeri {176, 181, 168, 176, 172}, si calcoli la loro media geometrica.

Per la (2) si ha:

Definizione 2

Si chiama media armonica degli numeri positivi il numero positivo:

Non è difficile provare che la media armonica di due numeri positivi è minore o uguale della loro media geometrica. Pertanto, data la (8), vale la relazione

Esempio 2

Assegnati i 5 numeri {176, 181, 168, 176, 172}, si calcoli la loro media armonica

Per la (8) si ha:

Definizione 3

Si chiama media quadratica degli numeri il numero :

Non è difficile provare che la media quadratica di due numeri positivi è maggiore o uguale alla loro media aritmetica. Pertanto, data la (12), vale la relazione:

Esempio 3

Assegnati i 5 numeri {176, 181, 168, 176, 172}, si calcoli la loro media quadratica

Per la (12) si ha:

Riportiamo ora alcune osservazioni in merito a quanto visto fin qui.

In generale, non esiste una regola che stabilisca quale delle “medie” introdotte sia più opportuno utilizzare. Infatti, la scelta di un indice rispetto ad un altro è strettamente connessa con il problema in esame e alle caratteristiche che si intendono evidenziare e sintetizzare.

Ad esempio, la media aritmetica è utilizzata per determinare i valori medi di spese, consumi, redditi, temperature, misure di altezze e peso, etc. La media geometrica è spesso utilizzata per determinare il tasso medio di accrescimento di una grandezza, come ad esempio il tasso d’interesse medio nella capitalizzazione composta o nei cambi monetari. La media quadratica è utile per evidenziare la presenza di valori molto grandi o molto piccoli nella distribuzione esaminata, e per rendere ininfluente la presenza di valori con segni discordi.

È utile determinare la moda di una distribuzione di frequenze, quando sia importante conoscere il valore nella distribuzione che ha la maggiore probabilità di presentarsi. La mediana, che rappresenta il valore centrale della distribuzione ordinata, si utilizza quando non si vuole tener conto delle informazioni che provengono dai dati estremi.