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Massimi e minimi relativi di una funzione

In questa modulo parleremo di massimi, minimi, punti di massimo e punti di minimo di una funzione. Iniziamo con qualche utile definizione.

Definizione

Data una funzione Studenti/matematica definita nell'intervallo Studenti/matematica di Studenti/matematica, essa ha un punto di massimo locale o relativo (minimo) interno ad Studenti/matematica quando si ha che

Studenti/matematica

Il numero Studenti/matematica si chiama massimo (minimo) relativo o locale.

I massimi e i minimi relativi o locali sono gli estremi relativi, invece i punti di massimo e di minimo relativo di una funzione sono gli estremanti. In altre parole, gli estremi sono valori assunti dalla funzione Studenti/matematica, mentre gli estremanti sono i valori della Studenti/matematica in corrispondenza dei quali la funzione assume i valori estremi.

La precedente definizione evidenzia il fatto che ci riferiamo a condizioni locali, cioé a punti di un determinato intorno di Studenti/matematica e non a tutto il dominio Studenti/matematica

Quindi dobbiamo fare una distinzione tra minimo (massimo) locale (relativo) e minimo (massimo) assoluto.

Studenti/matematica

Dalla figura si evidenzia che i punti Studenti/matematica e Studenti/matematica sono rispettivamente punti di minimo e massimo assoluti, gli altri sono minimi e massimi relativi.

Prima di enunciare un teorema fondamentale relativo alle funzioni derivabili diamo la seguente definizione che é premessa utile al teorema:

Definizione

Data la funzione Studenti/matematica derivabile in un punto Studenti/matematica, Studenti/matematica é un punto critico o stazionario di Studenti/matematica se risulta:

Studenti/matematica
1

Se, invece, risulta

Studenti/matematica

il punto Studenti/matematica si dice regolare.

Passiamo ora al seguente teorema fondamentale (detto Teorema di Fermat).

Teorema

Se Studenti/matematica è una funzione derivabile in un punto Studenti/matematica di Studenti/matematica estremante (punto di minimo o di massimo locale) allora la derivata in Studenti/matematica vale zero cioé

Studenti/matematica

Prima di approfondire il teorema precedente ricordiamo che i punti estremanti di una funzione sono sempre i punti interni all'intervallo in cui la funzione é definita. Dalla precedente definizione formale non si evidenzia una questione che crea confusione ossia che vi é differenza tra minimo (massimo) e punto di minimo (massimo); cercare il minimo (massimo) significa trovare i valori corrispondenti al codominio di Studenti/matematica (le Studenti/matematica), cercare il punto di minimo (massimo) significa trovare i valori corrispondenti al dominio di Studenti/matematica (le Studenti/matematica).

Vediamo ora cosa ci dice questo teorema da un punto di vista geometrico.

Studenti/matematica

Dalla figura vediamo che i punti Studenti/matematica ed Studenti/matematica sono, rispettivamente un punto di minimo locale e di massimo locale, interni al dominio e in tali punti la Studenti/matematica é derivabile, pertanto le rette tangenti al grafico nei punti Studenti/matematica e Studenti/matematica risultano parallele all'asse Studenti/matematica, ossia il loro coefficiente angolare è nullo.

Vedremo in seguito che l'annullarsi della derivata prima in un punto interno al dominio non implica necessariamente che nel punto ci sia un massimo o minimo locale. Vi sono funzioni, inoltre, sprovviste di minimo e di massimo in un determinato intervallo.

C'é, comunque, un criterio molto pratico per la ricerca di massimi o minimi relativi in conseguenza del seguente teorema.

Teorema

Se Studenti/matematica é dotata di derivata prima e seconda continua in un intorno di un punto critico regolare Studenti/matematica, cioé

Studenti/matematica

Studenti/matematica

Studenti/matematica

allora Studenti/matematica è un punto di minimo (massimo) relativo di Studenti/matematica.