In questa modulo parleremo di massimi, minimi, punti di massimo e punti di minimo di una funzione. Iniziamo con qualche utile definizione.
Definizione
Data una funzione definita nell'intervallo
di
, essa ha un punto di massimo locale o relativo (minimo) interno ad
quando si ha che

Il numero si chiama massimo (minimo) relativo o locale.
I massimi e i minimi relativi o locali sono gli estremi relativi, invece i punti di massimo e di minimo relativo di una funzione sono gli estremanti. In altre parole, gli estremi sono valori assunti dalla funzione , mentre gli estremanti sono i valori della
in corrispondenza dei quali la funzione assume i valori estremi.
La precedente definizione evidenzia il fatto che ci riferiamo a condizioni locali, cioé a punti di un determinato intorno di e non a tutto il dominio
Quindi dobbiamo fare una distinzione tra minimo (massimo) locale (relativo) e minimo (massimo) assoluto.

Dalla figura si evidenzia che i punti e
sono rispettivamente punti di minimo e massimo assoluti, gli altri sono minimi e massimi relativi.
Prima di enunciare un teorema fondamentale relativo alle funzioni derivabili diamo la seguente definizione che é premessa utile al teorema:
Definizione
Data la funzione derivabile in un punto
,
é un punto critico o stazionario di
se risulta:

Se, invece, risulta

il punto si dice regolare.
Passiamo ora al seguente teorema fondamentale (detto Teorema di Fermat).
Teorema
Se è una funzione derivabile in un punto
di
estremante (punto di minimo o di massimo locale) allora la derivata in
vale zero cioé

Prima di approfondire il teorema precedente ricordiamo che i punti estremanti di una funzione sono sempre i punti interni all'intervallo in cui la funzione é definita. Dalla precedente definizione formale non si evidenzia una questione che crea confusione ossia che vi é differenza tra minimo (massimo) e punto di minimo (massimo); cercare il minimo (massimo) significa trovare i valori corrispondenti al codominio di (le
), cercare il punto di minimo (massimo) significa trovare i valori corrispondenti al dominio di
(le
).
Vediamo ora cosa ci dice questo teorema da un punto di vista geometrico.

Dalla figura vediamo che i punti ed
sono, rispettivamente un punto di minimo locale e di massimo locale, interni al dominio e in tali punti la
é derivabile, pertanto le rette tangenti al grafico nei punti
e
risultano parallele all'asse
, ossia il loro coefficiente angolare è nullo.
Vedremo in seguito che l'annullarsi della derivata prima in un punto interno al dominio non implica necessariamente che nel punto ci sia un massimo o minimo locale. Vi sono funzioni, inoltre, sprovviste di minimo e di massimo in un determinato intervallo.
C'é, comunque, un criterio molto pratico per la ricerca di massimi o minimi relativi in conseguenza del seguente teorema.
Teorema
Se é dotata di derivata prima e seconda continua in un intorno di un punto critico regolare
, cioé


allora è un punto di minimo (massimo) relativo di
.