In questa modulo parleremo di massimi, minimi, punti di massimo e punti di minimo di una funzione. Iniziamo con qualche utile definizione.

Definizione

Data una funzione definita nell'intervallo di , essa ha un punto di massimo locale o relativo (minimo) interno ad quando si ha che

Il numero si chiama massimo (minimo) relativo o locale.

I massimi e i minimi relativi o locali sono gli estremi relativi, invece i punti di massimo e di minimo relativo di una funzione sono gli estremanti. In altre parole, gli estremi sono valori assunti dalla funzione , mentre gli estremanti sono i valori della in corrispondenza dei quali la funzione assume i valori estremi.

La precedente definizione evidenzia il fatto che ci riferiamo a condizioni locali, cioé a punti di un determinato intorno di e non a tutto il dominio

Quindi dobbiamo fare una distinzione tra minimo (massimo) locale (relativo) e minimo (massimo) assoluto.

Dalla figura si evidenzia che i punti e sono rispettivamente punti di minimo e massimo assoluti, gli altri sono minimi e massimi relativi.

Prima di enunciare un teorema fondamentale relativo alle funzioni derivabili diamo la seguente definizione che é premessa utile al teorema:

Definizione

Data la funzione derivabile in un punto , é un punto critico o stazionario di se risulta:

Se, invece, risulta

il punto si dice regolare.

Passiamo ora al seguente teorema fondamentale (detto Teorema di Fermat).

Teorema

Se è una funzione derivabile in un punto di estremante (punto di minimo o di massimo locale) allora la derivata in vale zero cioé

Prima di approfondire il teorema precedente ricordiamo che i punti estremanti di una funzione sono sempre i punti interni all'intervallo in cui la funzione é definita. Dalla precedente definizione formale non si evidenzia una questione che crea confusione ossia che vi é differenza tra minimo (massimo) e punto di minimo (massimo); cercare il minimo (massimo) significa trovare i valori corrispondenti al codominio di (le ), cercare il punto di minimo (massimo) significa trovare i valori corrispondenti al dominio di (le ).

Vediamo ora cosa ci dice questo teorema da un punto di vista geometrico.

Dalla figura vediamo che i punti ed sono, rispettivamente un punto di minimo locale e di massimo locale, interni al dominio e in tali punti la é derivabile, pertanto le rette tangenti al grafico nei punti e risultano parallele all'asse , ossia il loro coefficiente angolare è nullo.

Vedremo in seguito che l'annullarsi della derivata prima in un punto interno al dominio non implica necessariamente che nel punto ci sia un massimo o minimo locale. Vi sono funzioni, inoltre, sprovviste di minimo e di massimo in un determinato intervallo.

C'é, comunque, un criterio molto pratico per la ricerca di massimi o minimi relativi in conseguenza del seguente teorema.

Teorema

Se é dotata di derivata prima e seconda continua in un intorno di un punto critico regolare , cioé

allora è un punto di minimo (massimo) relativo di .