In questa modulo parleremo di massimi, minimi, punti di massimo e punti di minimo di una funzione. Iniziamo con qualche utile definizione.
Definizione
Data una funzione 
definita nell'intervallo 
di 
, essa ha un punto di massimo locale o relativo (minimo) interno ad 
quando si ha che
Il numero 
si chiama massimo (minimo) relativo o locale.
I massimi e i minimi relativi o locali sono gli estremi relativi, invece i punti di massimo e di minimo relativo di una funzione sono gli estremanti. In altre parole, gli estremi sono valori assunti dalla funzione 
, mentre gli estremanti sono i valori della 
in corrispondenza dei quali la funzione assume i valori estremi.
La precedente definizione evidenzia il fatto che ci riferiamo a condizioni locali, cioé a punti di un determinato intorno di 
e non a tutto il dominio 
Quindi dobbiamo fare una distinzione tra minimo (massimo) locale (relativo) e minimo (massimo) assoluto.
Dalla figura si evidenzia che i punti 
e 
sono rispettivamente punti di minimo e massimo assoluti, gli altri sono minimi e massimi relativi.
Prima di enunciare un teorema fondamentale relativo alle funzioni derivabili diamo la seguente definizione che é premessa utile al teorema:
Definizione
Data la funzione 
derivabile in un punto 
, 
é un punto critico o stazionario di 
se risulta:
Se, invece, risulta
il punto 
si dice regolare.
Passiamo ora al seguente teorema fondamentale (detto Teorema di Fermat).
Teorema
Se 
è una funzione derivabile in un punto 
di 
estremante (punto di minimo o di massimo locale) allora la derivata in 
vale zero cioé
Prima di approfondire il teorema precedente ricordiamo che i punti estremanti di una funzione sono sempre i punti interni all'intervallo in cui la funzione é definita. Dalla precedente definizione formale non si evidenzia una questione che crea confusione ossia che vi é differenza tra minimo (massimo) e punto di minimo (massimo); cercare il minimo (massimo) significa trovare i valori corrispondenti al codominio di 
(le 
), cercare il punto di minimo (massimo) significa trovare i valori corrispondenti al dominio di 
(le 
).
Vediamo ora cosa ci dice questo teorema da un punto di vista geometrico.
Dalla figura vediamo che i punti 
ed 
sono, rispettivamente un punto di minimo locale e di massimo locale, interni al dominio e in tali punti la 
é derivabile, pertanto le rette tangenti al grafico nei punti 
e 
risultano parallele all'asse 
, ossia il loro coefficiente angolare è nullo.
Vedremo in seguito che l'annullarsi della derivata prima in un punto interno al dominio non implica necessariamente che nel punto ci sia un massimo o minimo locale. Vi sono funzioni, inoltre, sprovviste di minimo e di massimo in un determinato intervallo.
C'é, comunque, un criterio molto pratico per la ricerca di massimi o minimi relativi in conseguenza del seguente teorema.
Teorema
Se 
é dotata di derivata prima e seconda continua in un intorno di un punto critico regolare 
, cioé
allora 
è un punto di minimo (massimo) relativo di 
.