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Massimi e minimi assoluti di una funzione

Da un punto di vista concettuale, risulta facile comprendere che il massimo Studenti/matematica (minimo Studenti/matematica) assoluto di Studenti/matematica in un intervallo Studenti/matematica é il più grande (piccolo) dei valori assunti dalla funzione in Studenti/matematica. Vediamo ora le condizioni specifiche che ci fanno individuare un massimo (minimo) assoluto. Diamo la seguente

Definizione

Una funzione Studenti/matematica ha un punto di massimo assoluto (minimo assoluto) in Studenti/matematica quando esiste almeno un punto Studenti/matematica tale che

Studenti/matematica

sia ha che

Studenti/matematica

Il massimo ed il minimo assoluti costituiscono gli estremi assoluti di una funzione, tali valori sono da ricercare tra due tipologie di punti:

  1. gli estremi dell’intervallo Studenti/matematica

  2. i punti interni ad Studenti/matematica in cui la derivata prima si annulla ed i punti in cui la funzione non é derivabile.

Se ci troviamo nel caso di una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato Studenti/matematica sappiamo, per il teorema di Weiestrass, che essa é dotata di massimo e minimo assoluti.

Ma se la funzione continua non ha un intervallo chiuso e limitato non possiamo applicare il teorema precedente.

Pertanto se, partendo dalla premessa precedente, uno dei due limiti:

Studenti/matematica
1
Studenti/matematica
2

tende a Studenti/matematica la funzione é illimitata superiormente (inferiormente), per cui ne deriva che essa é priva di massimo (minimo) assoluto.

Esempio

Consideriamo la funzione

Studenti/matematica

Vogliamo determinare se nell’intervallo Studenti/matematica la funzione ha un massimo e un minimo assoluti. Poichè la funzioni è continua in tutto il dominio di esistenza, che risulta chiuso e limitato, per il teorema di Weiestrass ne segue che essa è anche dotata di massimo e minimo assoluto in Studenti/matematica.

Calcoliamo la derivata prima

Studenti/matematica

e poi calcoliamo i punti in cui essa si annulla. Risulta immediato verificare che

Studenti/matematica

Vediamo adesso il valore della derivata seconda nel punto in cui si annulla la derivata prima.

Studenti/matematica

per il cui la funzione ha un minimo assoluto nel punto Studenti/matematica. Per la ricerca del massimo, non essendoci altri punti che annullano la derivata prima, dobbiamo verificare la funzione negli estremi Studenti/matematica e Studenti/matematica

Studenti/matematica

da cui ricaviamo facilmente che la funzione ha un massimo assoluto nel punto Studenti/matematica, estremo superiore del suo dominio.

Verifichiamo graficamente quanto calcolato.

Studenti/matematica