Da un punto di vista concettuale, risulta facile comprendere che il massimo 
(minimo 
) assoluto di 
in un intervallo 
é il più grande (piccolo) dei valori assunti dalla funzione in 
. Vediamo ora le condizioni specifiche che ci fanno individuare un massimo (minimo) assoluto. Diamo la seguente
Definizione
Una funzione 
ha un punto di massimo assoluto (minimo assoluto) in 
quando esiste almeno un punto 
tale che
sia ha che
Il massimo ed il minimo assoluti costituiscono gli estremi assoluti di una funzione, tali valori sono da ricercare tra due tipologie di punti:
-
gli estremi dell’intervallo
-
i punti interni ad
in cui la derivata prima si annulla ed i punti in cui la funzione non é derivabile.
Se ci troviamo nel caso di una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato 
sappiamo, per il teorema di Weiestrass, che essa é dotata di massimo e minimo assoluti.
Ma se la funzione continua non ha un intervallo chiuso e limitato non possiamo applicare il teorema precedente.
Pertanto se, partendo dalla premessa precedente, uno dei due limiti:
tende a 
la funzione é illimitata superiormente (inferiormente), per cui ne deriva che essa é priva di massimo (minimo) assoluto.
Esempio
Consideriamo la funzione
Vogliamo determinare se nell’intervallo 
la funzione ha un massimo e un minimo assoluti. Poichè la funzioni è continua in tutto il dominio di esistenza, che risulta chiuso e limitato, per il teorema di Weiestrass ne segue che essa è anche dotata di massimo e minimo assoluto in 
.
Calcoliamo la derivata prima
e poi calcoliamo i punti in cui essa si annulla. Risulta immediato verificare che
Vediamo adesso il valore della derivata seconda nel punto in cui si annulla la derivata prima.
per il cui la funzione ha un minimo assoluto nel punto 
. Per la ricerca del massimo, non essendoci altri punti che annullano la derivata prima, dobbiamo verificare la funzione negli estremi 
e 
da cui ricaviamo facilmente che la funzione ha un massimo assoluto nel punto 
, estremo superiore del suo dominio.
Verifichiamo graficamente quanto calcolato.
