Qui vogliamo mostrare un risultato interessante, che deriva da una serie di considerazioni sugli integrali, in quanto ci fa comprendere come la teoria dell’integrale di Riemann risulta fondamentale per risolvere numerosi problemi di misura, e non solo delle aree. Infatti, mostriamo ora come si può misurare la lunghezza di un arco di curva qualsiasi tramite il calcolo integrale.

Sia l’equazione di una curva , prendiamo un arco di con e ascisse dei punti e , rispettivamente.

Disegnamo una poligonale inscritta e indichiamo con e con le ascisse dei punti presi sulla curva , e le ordinate corrispondenti.

Indichiamo con il massimo delle distanze tra punti successivi, ossia.

Allora si avrà che la lunghezza dell'arco é il limite, se esiste ed è finito, della somma delle lunghezze delle poligonali inscritte facendo tendere a zero.

In altre parole, possiamo scrivere che

ricordiamo adesso la formula per il calcolo della distanza tra due punti

dunque possiamo scrivere la somma delle lunghezze come

Se è continua nell’intervallo chiuso e sia f che la sua derivata sono continue in si può applicare il teorema di Lagrange* che ci consente di scrivere

per cui, sostituendo nella (1), la lunghezza della poligonale sarà data dalla formula:

essendo continua lo é pure l’espressione e sarà, pertanto, finito il limite, che chiameremo S, dato dalla (3) al tendere di n all’infinito, ossia quando prendiamo infiniti punti . Quindi, possiamo scrivere

notiamo infine che per tendente all'infinito avremo che , ed ancora ma questo limite é proprio l'integrale

La (4) in definitiva è proprio la formula che ci consente di calcolare la lunghezza dell'arco .

Se l’equazione della curva è data in forma parametrica:

le funzioni λ e μ sono continue e derivabili, in tal caso la lunghezza dell’arco di curva sarà:

*Per completezza, riportiamo qui anche il Teorema di Lagrange (anche detto “del valor medio”).

Teorema

Sia una funzione continua nell'intervallo chiuso e derivabile nell'aperto . Esiste almeno un punto tale che

ossia

La (5) la si chiama formula di Lagrange o degli incrementi finiti o del valor medio.

Infine, riportiamo un esempio di quanto fin qui visto.

Esempio

Consideriamo la funzione

vogliamo calcolare la lunghezza dell’arco di curva per , il tratto in rosso mostrato in figura

Calcoliamo la

poi applichiamo la (4) ed abbiamo

si tratta di un integrale di funzione irrazione intera, la cui soluzione si può ottenere usando gli artifici di sostituizioni tipici di questa classe di integrali (caso e . Senza illustrare il procedimento, possiamo concludere riportando il risultato di tale integrale, che ci restituisce il valore della lunghezza dell’arco di curva cercato