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Lunghezza di un arco di curva

Qui vogliamo mostrare un risultato interessante, che deriva da una serie di considerazioni sugli integrali, in quanto ci fa comprendere come la teoria dell’integrale di Riemann risulta fondamentale per risolvere numerosi problemi di misura, e non solo delle aree. Infatti, mostriamo ora come si può misurare la lunghezza di un arco di curva qualsiasi tramite il calcolo integrale.

Sia Studenti/matematica l’equazione di una curva Studenti/matematica, prendiamo un arco Studenti/matematica di Studenti/matematica con Studenti/matematica e Studenti/matematica ascisse dei punti Studenti/matematica e Studenti/matematica, rispettivamente.

Studenti/matematica

Disegnamo una poligonale inscritta e indichiamo con Studenti/matematica e con Studenti/matematica le ascisse dei punti Studenti/matematica presi sulla curva Studenti/matematica, e Studenti/matematica le ordinate corrispondenti.

Studenti/matematica

Indichiamo con Studenti/matematica il massimo delle distanze tra punti successivi, ossia.

Studenti/matematica

Allora si avrà che la lunghezza dell'arco Studenti/matematica é il limite, se esiste ed è finito, della somma delle lunghezze delle poligonali inscritte facendo tendere Studenti/matematica a zero.

In altre parole, possiamo scrivere che

Studenti/matematica

ricordiamo adesso la formula per il calcolo della distanza tra due punti

Studenti/matematica
Studenti/matematica

dunque possiamo scrivere la somma delle lunghezze come

Studenti/matematica
1

Se Studenti/matematica è continua nell’intervallo chiuso Studenti/matematica e sia f che la sua derivata Studenti/matematica sono continue in Studenti/matematica si può applicare il teorema di Lagrange* che ci consente di scrivere

Studenti/matematica

per cui, sostituendo nella (1), la lunghezza della poligonale sarà data dalla formula:

Studenti/matematica
2
Studenti/matematica
3

essendo Studenti/matematica continua lo é pure l’espressione Studenti/matematica e sarà, pertanto, finito il limite, che chiameremo S, dato dalla (3) al tendere di n all’infinito, ossia quando prendiamo infiniti punti Studenti/matematica. Quindi, possiamo scrivere

Studenti/matematica

notiamo infine che per Studenti/matematica tendente all'infinito avremo che Studenti/matematica, ed ancora Studenti/matematica ma questo limite é proprio l'integrale

Studenti/matematica
4

La (4) in definitiva è proprio la formula che ci consente di calcolare la lunghezza dell'arco Studenti/matematica.

Se l’equazione della curva è data in forma parametrica:

Studenti/matematica

le funzioni λ e μ sono continue e derivabili, in tal caso la lunghezza dell’arco di curva sarà:

Studenti/matematica

*Per completezza, riportiamo qui anche il Teorema di Lagrange (anche detto “del valor medio”).

Teorema

Sia Studenti/matematica una funzione continua nell'intervallo chiuso Studenti/matematica e derivabile nell'aperto Studenti/matematica. Esiste almeno un punto Studenti/matematica tale che

Studenti/matematica

ossia

Studenti/matematica
5

La (5) la si chiama formula di Lagrange o degli incrementi finiti o del valor medio.

Infine, riportiamo un esempio di quanto fin qui visto.

Esempio

Consideriamo la funzione

Studenti/matematica

vogliamo calcolare la lunghezza dell’arco di curva per Studenti/matematica, il tratto in rosso mostrato in figura

Studenti/matematica

Calcoliamo la Studenti/matematica

Studenti/matematica

poi applichiamo la (4) ed abbiamo

Studenti/matematica
Studenti/matematica

si tratta di un integrale di funzione irrazione intera, la cui soluzione si può ottenere usando gli artifici di sostituizioni tipici di questa classe di integrali (caso Studenti/matematica e Studenti/matematica. Senza illustrare il procedimento, possiamo concludere riportando il risultato di tale integrale, che ci restituisce il valore della lunghezza dell’arco di curva cercato

Studenti/matematica