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Limiti notevoli

I teoremi sui limiti consentono di calcolare velocemente alcuni limiti e con l’introduzione della continuità delle funzioni possiamo ampliare e calcolare molti limiti.

Premettiamo alcuni risultati, di facile evidenza, che consentono di calcolare i limiti notevoli di cui vogliamo parlare in particolare per le funzioni razionali.

    1. Sia Studenti/matematica, per qualsiasi Studenti/matematica si ha sempre

      Studenti/matematica
    2. Sia Studenti/matematica un polinomio; applicando alcune proprietà dei limiti si ha

      Studenti/matematica

      dove

      Studenti/matematica
    3. Sia Studenti/matematica, allora

      Studenti/matematica

      ed anche

      Studenti/matematica
    4. Sia Studenti/matematica un polinomio, allora

      Studenti/matematica

Con l'introduzione delle funzioni continue vediamo ora altri limiti evitando la dimostrazione.

Esempio 1

Iniziamo considerando il seguente limite

Studenti/matematica

da questo risultato ne derivano altri

Studenti/matematica
2
Studenti/matematica
3
Studenti/matematica
Studenti/matematica
4

Esempio 2

Esaminiamo adesso un altro importante limite, del quale non diamo la dimostrazione, introducendo solo qualche utile considerazione, peraltro già accennata negli argomenti precedenti. Esaminiamo il rapporto:

Studenti/matematica

per valori piccoli dell'arco Studenti/matematica misurato in radianti.

Diciamo subito che si ha:

Studenti/matematica

Poiché questo limite si presenta inizialmente nella forma Studenti/matematica, come anche accade per il (3) ed il (4), è il caso di studiare l'andamento di Studenti/matematica in un intorno di Studenti/matematica vicino allo zero, che significa considerare il modulo dell'arco Studenti/matematica con la condizione Studenti/matematica.

Quindi per Studenti/matematica si ha che Studenti/matematica (funzione) Studenti/matematica (arco) ed il rapporto é uguale ad 1, da cui ne consegue che anche il limite è uguale ad 1.

Esempio 3

Consideriamo il seguente limite

Studenti/matematica
5

riscriviamo il rapporto come

Studenti/matematica

poi ricordiamo che la funzione sen x è limitata in [-1,1], da cui ne consegue che

Studenti/matematica

concludiamo che

Studenti/matematica

Esempio 4

Consideriamo ora il seguente limite

Studenti/matematica
6

anche in questo caso riscriviamo il rapporto come

Studenti/matematica

poiché sappiamo che

Studenti/matematica

allora ricaviamo che

Studenti/matematica

Esempio 5

Consideriamo ora il seguente limite

Studenti/matematica
7

riscriviamo il rapporto come

Studenti/matematica
Studenti/matematica

riportando questo risultato nella (7) otteniamo

Studenti/matematica