In questo modulo prendiamo in esame un particolare tipo di limite, partendo sempre dalla definizione formale di limite, che riportiamo qui per comodità:

Definizione

Sia , con incluso in , e ed due numeri reali. Il limite di , per é , oppure che tende ad quando tende a e scriviamo:

quando, fissato un intorno di , é sempre possibile trovare in corrispondenza ad esso, un intorno di tale che

Consideriamo il caso in cui la funzione tende verso l’infinito al tendere della variabile ad un punto finito . In questo caso dobbiamo considerare una funzione illimitata superiormente (inferiormente), per la quale scriveremo

cioè

quando

dove é il dominio della funzione con un intorno di ed un numero grande a piacere.

Nel primo caso, quando , si ha:

La figura seguente mostra un tipico esempio di funzione che ha un limite a in un punto finito .

nel secondo caso, quando , si ha invece:

Ancora, la figura seguente mostra un tipico esempio di funzione che ha un limite a in un punto finito .

NOTA:

Quando una funzione in un punto ha limite () allora la retta é un asintoto verticale della funzione. Per fare alcuni esempi, consideriamo che hanno asintoti verticali le seguenti funzioni:

1. le funzioni razionali in cui il denominatore si annulla in un punto hanno il limite infinito in tale punto

2. la funzione trigonometrica per ,

3. la funzione per .

Esempio

Consideriamo la funzione , definita e verifichiamo che

Prendiamo un numero a piacere e poniamo

ora dobbiamo cercare se esiste un δ per cui preso un intorno di 0 del tipo , si verifichi sempre la (1). Riscriviamo la disequezione come

da cui ricaviamo

poiché , abbiamo individuato il come

e quindi possiamo scrivere

Concludendo così che il limite è verificato. Visualizziamo il grafico della funzione

Esempio

Verificare che

scelto un , scriviamo

da cui

osserviamo che se allora , per cui possiamo scrivere

e dunque

la cui soluzione è

esso rappresenta un intorno sinistro di 2 con , per cui il limite è verificato.