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Limite infinito di una funzione finita

In questo modulo prendiamo in esame un particolare tipo di limite, partendo sempre dalla definizione formale di limite, che riportiamo qui per comodità:

Definizione

Sia Studenti/matematica, con Studenti/matematica incluso in Studenti/matematica, e Studenti/matematica ed Studenti/matematica due numeri reali. Il limite di Studenti/matematica, per Studenti/matematica é Studenti/matematica, oppure che Studenti/matematica tende ad Studenti/matematica quando Studenti/matematica tende a Studenti/matematica e scriviamo:

Studenti/matematica

quando, fissato un intorno Studenti/matematica di Studenti/matematica, é sempre possibile trovare in corrispondenza ad esso, un intorno Studenti/matematica di Studenti/matematica tale che

Studenti/matematica

Consideriamo il caso in cui la funzione tende verso l’infinito al tendere della variabile ad un punto finito Studenti/matematica. In questo caso dobbiamo considerare una funzione illimitata superiormente (inferiormente), per la quale scriveremo

Studenti/matematica

cioè

Studenti/matematica

quando

Studenti/matematica

dove Studenti/matematica é il dominio della funzione Studenti/matematica conStudenti/matematica un intorno di Studenti/matematica ed Studenti/matematica un numero grande a piacere.

Nel primo caso, quando Studenti/matematica, si ha:

Studenti/matematica

La figura seguente mostra un tipico esempio di funzione che ha un limite a Studenti/matematica in un punto finito Studenti/matematica.

Studenti/matematica

nel secondo caso, quando Studenti/matematica, si ha invece:

Studenti/matematica

Ancora, la figura seguente mostra un tipico esempio di funzione che ha un limite a Studenti/matematica in un punto finito Studenti/matematica.

Studenti/matematica

NOTA:

Quando una funzione in un punto Studenti/matematica ha limite Studenti/matematica (Studenti/matematica) allora la retta Studenti/matematica é un asintoto verticale della funzione. Per fare alcuni esempi, consideriamo che hanno asintoti verticali le seguenti funzioni:

  1. le funzioni razionali in cui il denominatore si annulla in un punto Studenti/matematica hanno il limite infinito in tale punto

  2. la funzione trigonometrica Studenti/matematica per Studenti/matematica,

  3. la funzione Studenti/matematica per Studenti/matematica.

Esempio

Consideriamo la funzione Studenti/matematica, definita Studenti/matematica e verifichiamo che

Studenti/matematica

Prendiamo un numero Studenti/matematica a piacere e poniamo

Studenti/matematica
1

ora dobbiamo cercare se esiste un δ per cui preso un intorno di 0 del tipo Studenti/matematica, si verifichi sempre la (1). Riscriviamo la disequezione come

Studenti/matematica

da cui ricaviamo

Studenti/matematica

poiché Studenti/matematica, abbiamo individuato il Studenti/matematica come

Studenti/matematica

e quindi possiamo scrivere

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Concludendo così che il limite è verificato. Visualizziamo il grafico della funzione

Studenti/matematica

Esempio

Verificare che

Studenti/matematica

scelto un Studenti/matematica, scriviamo

Studenti/matematica

da cui

Studenti/matematica

osserviamo che se Studenti/matematica allora Studenti/matematica, per cui possiamo scrivere

Studenti/matematica

e dunque

Studenti/matematica

la cui soluzione è

Studenti/matematica

esso rappresenta un intorno sinistro di 2 con Studenti/matematica, per cui il limite è verificato.