Esaminiamo qui il caso di limiti di funzioni che hanno un dominio di esistenza illimitato, per cui ci interessa sapere come si comporta la funzione per valori via via più grandi (più piccoli). Ovviamente non ha senso tentare di calcolare oppure per cui possiamo cercare il comportamento al limite di che tende a tali valori infiniti.

Data una funzione con , diremo che é illimitato superiormente (inferiormente) se fissato un numero reale , esiste un . Dunque, se é illimitato superiormente (inferiormente) é possibile calcolare la f in corrispondenza di valori sempre più grandi (piccoli). In altre parole possiamo calcolare i limiti:

In particolare qui siamo interessati al caso in cui questi limiti assumono valori infiniti.

Possiamo dare pertanto la seguente definizione.

Definizione 1

Data una funzione illimitata superiormente con illimitato superiormente (inferiormente), possiamo dire che:

se, comunque preso un numero , che verifica la condizione , si ha

Definizione 2

Data una funzione illimitata inferiormente con illimitato superiormente (inferiormente), possiamo dire che:

se, preso un numero , che verifica la condizione , si ha:

Vediamo ora le rappresentazioni grafiche delle due definizioni che portano a raffigurare quattro casi:

NOTA:

I polinomi di grado superiore o uguale ad 1 hanno limite infinito con le funzioni all’infinito. Attenzione però a distinguere fra quelli di grado pari e grado dispari, nel primo caso hanno lo stesso limite nel secondo i limiti sono opposti e ciò vale sia per che per .

Esempio 2

Come esercizio, verifichiamo ora un risultato generale.

Data la funzione

dobbiamo verificare che

Applicando la definzione 1, dobbiamo dimostrare che

consideriamo un generico a piacere, e imponiamo la condizione

da cui ricaviamo

poiché la funzione è definita in tutto , dobbiamo imporre una condizione su x compatibile con , pertanto possiamo prendere e otteniamo il sistema

da cui, per , ricaviamo la soluzione .

Visualizziamo il grafico di una funzione del tipo , con :

Esempio 3

Consideriamo adesso la funzione

dobbiamo verificare che

Anche in questo caso, applicando la definzione 1, dobbiamo dimostrare che

Consideriamo un generico a piacere, e imponiamo la condizione

da cui ricaviamo

da cui la soluzione

Confermiamo il risultato trovato visualizzando il grafico della funzione