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Limite infinito di una funzione all'infinito

Esaminiamo qui il caso di limiti di funzioni che hanno un dominio di esistenza illimitato, per cui ci interessa sapere come si comporta la funzione per valori via via più grandi (più piccoli). Ovviamente non ha senso tentare di calcolare Studenti/matematica oppure Studenti/matematica per cui possiamo cercare il comportamento al limite di Studenti/matematica che tende a tali valori infiniti.

Data una funzione Studenti/matematica con Studenti/matematica, diremo che Studenti/matematica é illimitato superiormente (inferiormente) se fissato un numero reale Studenti/matematica, esiste un Studenti/matematica. Dunque, se Studenti/matematica é illimitato superiormente (inferiormente) é possibile calcolare la f in corrispondenza di valori sempre più grandi (piccoli). In altre parole possiamo calcolare i limiti:

Studenti/matematica

In particolare qui siamo interessati al caso in cui questi limiti assumono valori infiniti.

Possiamo dare pertanto la seguente definizione.

Definizione 1

Data una funzione Studenti/matematica illimitata superiormente con Studenti/matematica illimitato superiormente (inferiormente), possiamo dire che:

Studenti/matematica

se, comunque preso un numero Studenti/matematica, Studenti/matematica che verifica la condizione Studenti/matematica, si ha

Studenti/matematica

Definizione 2

Data una funzione Studenti/matematica illimitata inferiormente con Studenti/matematica illimitato superiormente (inferiormente), possiamo dire che:

Studenti/matematica

se, preso un numero Studenti/matematica, Studenti/matematica che verifica la condizione Studenti/matematica, si ha:

Studenti/matematica

Vediamo ora le rappresentazioni grafiche delle due definizioni che portano a raffigurare quattro casi:

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

NOTA:

I polinomi di grado superiore o uguale ad 1 hanno limite infinito con le funzioni all’infinito. Attenzione però a distinguere fra quelli di grado pari e grado dispari, nel primo caso hanno lo stesso limite nel secondo i limiti sono opposti e ciò vale sia per Studenti/matematica che per Studenti/matematica.

Esempio 2

Come esercizio, verifichiamo ora un risultato generale.

Data la funzione Studenti/matematica

Studenti/matematica

dobbiamo verificare che

Studenti/matematica

Applicando la definzione 1, dobbiamo dimostrare che

Studenti/matematica
Studenti/matematica

consideriamo un generico Studenti/matematica a piacere, e imponiamo la condizione

Studenti/matematica

da cui ricaviamo

Studenti/matematica

poiché la funzione è definita in tutto Studenti/matematica, dobbiamo imporre una condizione su x compatibile con Studenti/matematica, pertanto possiamo prendere Studenti/matematica e otteniamo il sistema

Studenti/matematica

da cui, per Studenti/matematica, ricaviamo la soluzione Studenti/matematica.

Visualizziamo il grafico di una funzione del tipo Studenti/matematica, con Studenti/matematica:

Studenti/matematica

Esempio 3

Consideriamo adesso la funzione

Studenti/matematica

dobbiamo verificare che

Studenti/matematica

Anche in questo caso, applicando la definzione 1, dobbiamo dimostrare che

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Consideriamo un generico Studenti/matematica a piacere, e imponiamo la condizione

Studenti/matematica

da cui ricaviamo

Studenti/matematica
1

da cui la soluzione

Studenti/matematica

Confermiamo il risultato trovato visualizzando il grafico della funzione

Studenti/matematica