Esaminiamo qui il caso di limiti di funzioni che hanno un dominio di esistenza illimitato, per cui ci interessa sapere come si comporta la funzione per valori via via più grandi (più piccoli). Ovviamente non ha senso tentare di calcolare oppure per cui possiamo cercare il comportamento al limite di che tende a tali valori infiniti.
Data una funzione con , diremo che é illimitato superiormente (inferiormente) se fissato un numero reale , esiste un . Dunque, se é illimitato superiormente (inferiormente) é possibile calcolare la in corrispondenza di valori sempre più grandi (piccoli). In altre parole possiamo calcolare i limiti:
In particolare qui siamo interessati al caso in cui questi limiti sono finiti.
Possiamo dare pertanto la seguente definizione
Definizione
Data una funzione con illimitato superiormente (inferiormente), diciamo che:
se, fissato un , é possibile, in corrispondenza ad esso, determinare un numero tale che e si abbia:
Per semplificare la comprensione del concetto di limite finito di una funzione all’infinito, ci aiuta molto la rappresentazione grafica di quanto precedentemente scritto in formule.
NOTA:
Quando accade che una funzione ammette limite finito per allora la retta é un asintoto orizzontale della funzione.
Da quanto fin qui detto, possiamo affermare che
-
le funzioni trigonometriche seno e coseno non hanno limite all'infinito. Le due figure seguenti mostrano i rispettivi grafici:
-
le funzioni del tipo con per hanno limite finito per , ossia hanno un asintoto orizzontale di equazione ;
-
tutte le funzioni razionali fratte con il polinomio a numeratore di grado minore o uguale al grado di quello a denominatore hanno asintoti orizzontali. Infatti, poiché si ha che per un generico polinomio:
cioé il limite per del polinomio é uguale al limite del termine di grado maggiore del polinomio stesso. Allora, per la generica funzione razionale fratta, possiamo scrivere:
e quindi possiamo considerare tre casi
In conclusione, possiamo ancora dire che una funzione razionale fratta
ha per asintoto orizzontale l'asse di equazione se e la retta se .
Esempio 1
Consideriamo la funzione
che risulta definita per .
Vogliamo verificare che vale
Scelto un valore a piacere, possiamo considerare
da cui, semplificando
ora sappiamo anche che la funzione è definita per , ma poiché dobbiamo verificare il limite per , dobbiamo considerare la condizione , per cui la (2) diventa
questo ci consente di dire che
Analogo discorso lo si può fare per , per cui possiamo concludere che la ha all’infinito il limite finito , quindi la retta è un asintoto orizzontale per la funzione. Il grafico ci conferma questo risultato.
Esaminiamo qui il caso di limiti di funzioni che hanno un dominio di esistenza illimitato, per cui ci interessa sapere come si comporta la funzione per valori via via più grandi (più piccoli). Ovviamente non ha senso tentare di calcolare oppure per cui possiamo cercare il comportamento al limite di che tende a tali valori infiniti.
Data una funzione con , diremo che é illimitato superiormente (inferiormente) se fissato un numero reale , esiste un . Dunque, se é illimitato superiormente (inferiormente) é possibile calcolare la in corrispondenza di valori sempre più grandi (piccoli). In altre parole possiamo calcolare i limiti:
In particolare qui siamo interessati al caso in cui questi limiti sono finiti.
Possiamo dare pertanto la seguente definizione
Definizione
Data una funzione con illimitato superiormente (inferiormente), diciamo che:
se, fissato un , é possibile, in corrispondenza ad esso, determinare un numero tale che e si abbia:
Per semplificare la comprensione del concetto di limite finito di una funzione all’infinito, ci aiuta molto la rappresentazione grafica di quanto precedentemente scritto in formule.
NOTA:
Quando accade che una funzione ammette limite finito per allora la retta é un asintoto orizzontale della funzione.
Da quanto fin qui detto, possiamo affermare che
-
le funzioni trigonometriche seno e coseno non hanno limite all'infinito. Le due figure seguenti mostrano i rispettivi grafici:
-
le funzioni del tipo con per hanno limite finito per , ossia hanno un asintoto orizzontale di equazione ;
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tutte le funzioni razionali fratte con il polinomio a numeratore di grado minore o uguale al grado di quello a denominatore hanno asintoti orizzontali. Infatti, poiché si ha che per un generico polinomio:
cioé il limite per del polinomio é uguale al limite del termine di grado maggiore del polinomio stesso. Allora, per la generica funzione razionale fratta, possiamo scrivere:
e quindi possiamo considerare tre casi
In conclusione, possiamo ancora dire che una funzione razionale fratta
ha per asintoto orizzontale l'asse di equazione se e la retta se .
Esempio 1
Consideriamo la funzione
che risulta definita per .
Vogliamo verificare che vale
Scelto un valore a piacere, possiamo considerare
da cui, semplificando
ora sappiamo anche che la funzione è definita per , ma poiché dobbiamo verificare il limite per , dobbiamo considerare la condizione , per cui la (2) diventa
questo ci consente di dire che
Analogo discorso lo si può fare per , per cui possiamo concludere che la ha all’infinito il limite finito , quindi la retta è un asintoto orizzontale per la funzione. Il grafico ci conferma questo risultato.