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Limite finito di una funzione all'infinito

Esaminiamo qui il caso di limiti di funzioni che hanno un dominio di esistenza illimitato, per cui ci interessa sapere come si comporta la funzione per valori via via più grandi (più piccoli). Ovviamente non ha senso tentare di calcolare Studenti/matematica oppure Studenti/matematica per cui possiamo cercare il comportamento al limite di Studenti/matematica che tende a tali valori infiniti.

Data una funzione Studenti/matematica con Studenti/matematica, diremo che Studenti/matematica é illimitato superiormente (inferiormente) se fissato un numero reale Studenti/matematica, esiste un Studenti/matematica. Dunque, se Studenti/matematica é illimitato superiormente (inferiormente) é possibile calcolare la Studenti/matematica in corrispondenza di valori sempre più grandi (piccoli). In altre parole possiamo calcolare i limiti:

Studenti/matematica

In particolare qui siamo interessati al caso in cui questi limiti sono finiti.

Possiamo dare pertanto la seguente definizione

Definizione

Data una funzione Studenti/matematica con Studenti/matematica illimitato superiormente (inferiormente), diciamo che:

Studenti/matematica

se, fissato un Studenti/matematica, é possibile, in corrispondenza ad esso, determinare un numero Studenti/matematica tale che Studenti/matematica e Studenti/matematica si abbia:

Studenti/matematica

Per semplificare la comprensione del concetto di limite finito di una funzione all’infinito, ci aiuta molto la rappresentazione grafica di quanto precedentemente scritto in formule.

Studenti/matematica
Studenti/matematica

NOTA:

Quando accade che una funzione ammette limite finito Studenti/matematica per Studenti/matematica allora la retta Studenti/matematica é un asintoto orizzontale della funzione.

Da quanto fin qui detto, possiamo affermare che

  1. le funzioni trigonometriche seno e coseno non hanno limite all'infinito. Le due figure seguenti mostrano i rispettivi grafici:

    Studenti/matematica
    Studenti/matematica
  2. le funzioni del tipo Studenti/matematica con Studenti/matematica per Studenti/matematica hanno limite finito per Studenti/matematica, ossia hanno un asintoto orizzontale di equazione Studenti/matematica;

    Studenti/matematica
  3. tutte le funzioni razionali fratte con il polinomio a numeratore di grado minore o uguale al grado di quello a denominatore hanno asintoti orizzontali. Infatti, poiché si ha che per un generico polinomio:

    Studenti/matematica
    Studenti/matematica

    cioé il limite per Studenti/matematica del polinomio é uguale al limite del termine di grado maggiore del polinomio stesso. Allora, per la generica funzione razionale fratta, possiamo scrivere:

    Studenti/matematica

    e quindi possiamo considerare tre casi

    Studenti/matematica

    In conclusione, possiamo ancora dire che una funzione razionale fratta

    Studenti/matematica

    ha per asintoto orizzontale l'asse Studenti/matematica di equazione Studenti/matematica se Studenti/matematica e la retta Studenti/matematica se Studenti/matematica.

Esempio 1

Consideriamo la funzione

Studenti/matematica

che risulta definita per Studenti/matematica.

Vogliamo verificare che vale

Studenti/matematica

Scelto un valore Studenti/matematica a piacere, possiamo considerare

Studenti/matematica
1

da cui, semplificando

Studenti/matematica
2

ora sappiamo anche che la funzione è definita per Studenti/matematica, ma poiché dobbiamo verificare il limite per Studenti/matematica, dobbiamo considerare la condizione Studenti/matematica, per cui la (2) diventa

Studenti/matematica

questo ci consente di dire che

Studenti/matematica

Analogo discorso lo si può fare per Studenti/matematica, per cui possiamo concludere che la Studenti/matematica ha all’infinito il limite finito Studenti/matematica, quindi la retta Studenti/matematica è un asintoto orizzontale per la funzione. Il grafico ci conferma questo risultato.

Studenti/matematica

Esaminiamo qui il caso di limiti di funzioni che hanno un dominio di esistenza illimitato, per cui ci interessa sapere come si comporta la funzione per valori via via più grandi (più piccoli). Ovviamente non ha senso tentare di calcolare Studenti/matematica oppure Studenti/matematica per cui possiamo cercare il comportamento al limite di Studenti/matematica che tende a tali valori infiniti.

Data una funzione Studenti/matematica con Studenti/matematica, diremo che Studenti/matematica é illimitato superiormente (inferiormente) se fissato un numero reale Studenti/matematica, esiste un Studenti/matematica. Dunque, se Studenti/matematica é illimitato superiormente (inferiormente) é possibile calcolare la Studenti/matematica in corrispondenza di valori sempre più grandi (piccoli). In altre parole possiamo calcolare i limiti:

Studenti/matematica

In particolare qui siamo interessati al caso in cui questi limiti sono finiti.

Possiamo dare pertanto la seguente definizione

Definizione

Data una funzione Studenti/matematica con Studenti/matematica illimitato superiormente (inferiormente), diciamo che:

Studenti/matematica

se, fissato un Studenti/matematica, é possibile, in corrispondenza ad esso, determinare un numero Studenti/matematica tale che Studenti/matematica e Studenti/matematica si abbia:

Studenti/matematica

Per semplificare la comprensione del concetto di limite finito di una funzione all’infinito, ci aiuta molto la rappresentazione grafica di quanto precedentemente scritto in formule.

Studenti/matematica
Studenti/matematica

NOTA:

Quando accade che una funzione ammette limite finito Studenti/matematica per Studenti/matematica allora la retta Studenti/matematica é un asintoto orizzontale della funzione.

Da quanto fin qui detto, possiamo affermare che

  1. le funzioni trigonometriche seno e coseno non hanno limite all'infinito. Le due figure seguenti mostrano i rispettivi grafici:

    Studenti/matematica
    Studenti/matematica
  2. le funzioni del tipo Studenti/matematica con Studenti/matematica per Studenti/matematica hanno limite finito per Studenti/matematica, ossia hanno un asintoto orizzontale di equazione Studenti/matematica;

    Studenti/matematica
  3. tutte le funzioni razionali fratte con il polinomio a numeratore di grado minore o uguale al grado di quello a denominatore hanno asintoti orizzontali. Infatti, poiché si ha che per un generico polinomio:

    Studenti/matematica
    Studenti/matematica

    cioé il limite per Studenti/matematica del polinomio é uguale al limite del termine di grado maggiore del polinomio stesso. Allora, per la generica funzione razionale fratta, possiamo scrivere:

    Studenti/matematica

    e quindi possiamo considerare tre casi

    Studenti/matematica

    In conclusione, possiamo ancora dire che una funzione razionale fratta

    Studenti/matematica

    ha per asintoto orizzontale l'asse Studenti/matematica di equazione Studenti/matematica se Studenti/matematica e la retta Studenti/matematica se Studenti/matematica.

Esempio 1

Consideriamo la funzione

Studenti/matematica

che risulta definita per Studenti/matematica.

Vogliamo verificare che vale

Studenti/matematica

Scelto un valore Studenti/matematica a piacere, possiamo considerare

Studenti/matematica
1

da cui, semplificando

Studenti/matematica
2

ora sappiamo anche che la funzione è definita per Studenti/matematica, ma poiché dobbiamo verificare il limite per Studenti/matematica, dobbiamo considerare la condizione Studenti/matematica, per cui la (2) diventa

Studenti/matematica

questo ci consente di dire che

Studenti/matematica

Analogo discorso lo si può fare per Studenti/matematica, per cui possiamo concludere che la Studenti/matematica ha all’infinito il limite finito Studenti/matematica, quindi la retta Studenti/matematica è un asintoto orizzontale per la funzione. Il grafico ci conferma questo risultato.

Studenti/matematica