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Limite destro e sinistro

Quando si considera la variabile Studenti/matematica che tende ad un valore Studenti/matematica e scriviamo Studenti/matematica, si assume che Studenti/matematica può avvicinarsi a Studenti/matematica sia con valori minori di Studenti/matematica via via crescenti (quindi da sinistra verso destra) sia con valori maggiori di Studenti/matematica e via via decrescenti (quindi da destra verso sinistra). Intuitivamente, dunque, si comprende che possiamo avere un limite destro ed un limite sinistro.

Per indicare che Studenti/matematica tende ad Studenti/matematica da sinistra e da destra si usano, rispettivamente, le due notazioni

Studenti/matematica

Graficamente si può rappresentare come in figura

Studenti/matematica

Pertanto, possiamo distinguere due limiti per Studenti/matematica che tende al punto Studenti/matematica

Studenti/matematica
1
Studenti/matematica
2

e leggeremo: limite di Studenti/matematica per Studenti/matematica tende a Studenti/matematica da sinistra e per Studenti/matematica tende a Studenti/matematica da destra, rispettivamente.

Quando i valori della funzione si fissano su numeri differenti se ci si avvicina da sinistra o da destra i valori si dicono limite sinistro e limite destro.

Per la definizione di Weiestrass, alla condizione

Studenti/matematica

sostituiremo le seguenti:

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Possiamo dare ora il seguente teorema.

Teorema

Una funzione Studenti/matematica ha in Studenti/matematica un limite Studenti/matematica se e soltanto se esistono il limite sinistro e destro ed entrambi sono uguali ad Studenti/matematica, cioè

Studenti/matematica

Se parliamo di intorni sinistro e destro di Studenti/matematica allora possiamo parlare di intorni di Studenti/matematica cioé limite per difetto Studenti/matematica e limite per eccesso Studenti/matematica.

Ricordiamo che un intorno sinistro e destro di un punto Studenti/matematica privati eventualmente di Studenti/matematica, si scrivono ripettivamente nel seguente modo:

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Ritornando quindi alle due relazioni (1) e (2), vediamo come riscrivere la definizione di limite (sinistro e destro, rispettivamente).

Nel primo caso, quando parliamo di limite sinistro, possiamo dire che

Studenti/matematica

se comunque preso

Studenti/matematica

si ha

Studenti/matematica

Graficamente possiamo rappresentare questa situazione con la figura

Studenti/matematica

Nel secondo caso (limite destro), possiamo dire che

Studenti/matematica
3

se comunque preso

Studenti/matematica

si ha

Studenti/matematica

In questo caso il grafico é il seguente

Studenti/matematica

Completiamo ora con la seguente definizione in cui parleremo di limite per difetto e per eccesso di Studenti/matematica cioé Studenti/matematica ed Studenti/matematica:

Sia Studenti/matematica, con Studenti/matematica, si ha che

Studenti/matematica

se comunque preso

Studenti/matematica

tale che risulti

Studenti/matematica

Analogamente per il limite destro possiamo dire che si ha

Studenti/matematica

se comunque preso

Studenti/matematica

tale che risulti

Studenti/matematica

Facciamo adesso un esempio che ci aiuterà a comprendere meglio il concetto di limite sinistro e destro.

Esempio 1

Data la funzione

Studenti/matematica

Verificare che si hanno i due limiti:

Studenti/matematica
4

e

Studenti/matematica
5

La funzione non é definita nel punto Studenti/matematica per cui possiamo scriverla così:

Studenti/matematica

Per verificare il limite sinistro, ossia la (4), dobbiamo fissare un qualsiasi ϵ>0 ed impostare la condizione

Studenti/matematica

ossia

Studenti/matematica

Considerando che Studenti/matematica e stiamo calcolando il limite sinistro, possiamo considerare il sistema

Studenti/matematica

da cui ricaviamo

Studenti/matematica
Studenti/matematica

la cui soluzione è

Studenti/matematica

Quindi, prendendo Studenti/matematica abbiamo individuato un intorno sinistro di 0. Procediamo in modo analogo per verificare la (5), ossia che Studenti/matematica scrivendo il sistema:

Studenti/matematica

da cui ricaviamo la soluzione

Studenti/matematica

Il grafico ci conferma i due risultati appena riscontrati

Studenti/matematica