Quando si considera la variabile che tende ad un valore
e scriviamo
, si assume che
può avvicinarsi a
sia con valori minori di
via via crescenti (quindi da sinistra verso destra) sia con valori maggiori di
e via via decrescenti (quindi da destra verso sinistra). Intuitivamente, dunque, si comprende che possiamo avere un limite destro ed un limite sinistro.
Per indicare che tende ad
da sinistra e da destra si usano, rispettivamente, le due notazioni

Graficamente si può rappresentare come in figura

Pertanto, possiamo distinguere due limiti per che tende al punto


e leggeremo: limite di per
tende a
da sinistra e per
tende a
da destra, rispettivamente.
Quando i valori della funzione si fissano su numeri differenti se ci si avvicina da sinistra o da destra i valori si dicono limite sinistro e limite destro.
Per la definizione di Weiestrass, alla condizione

sostituiremo le seguenti:


Possiamo dare ora il seguente teorema.
Teorema
Una funzione ha in
un limite
se e soltanto se esistono il limite sinistro e destro ed entrambi sono uguali ad
, cioè

Se parliamo di intorni sinistro e destro di allora possiamo parlare di intorni di
cioé limite per difetto
e limite per eccesso
.
Ricordiamo che un intorno sinistro e destro di un punto privati eventualmente di
, si scrivono ripettivamente nel seguente modo:


Ritornando quindi alle due relazioni (1) e (2), vediamo come riscrivere la definizione di limite (sinistro e destro, rispettivamente).
Nel primo caso, quando parliamo di limite sinistro, possiamo dire che

se comunque preso

si ha

Graficamente possiamo rappresentare questa situazione con la figura

Nel secondo caso (limite destro), possiamo dire che

se comunque preso

si ha

In questo caso il grafico é il seguente

Completiamo ora con la seguente definizione in cui parleremo di limite per difetto e per eccesso di cioé
ed
:
Sia , con
, si ha che

se comunque preso

tale che risulti

Analogamente per il limite destro possiamo dire che si ha

se comunque preso

tale che risulti

Facciamo adesso un esempio che ci aiuterà a comprendere meglio il concetto di limite sinistro e destro.
Esempio 1
Data la funzione

Verificare che si hanno i due limiti:

e

La funzione non é definita nel punto per cui possiamo scriverla così:

Per verificare il limite sinistro, ossia la (4), dobbiamo fissare un qualsiasi ϵ>0 ed impostare la condizione

ossia

Considerando che e stiamo calcolando il limite sinistro, possiamo considerare il sistema

da cui ricaviamo


la cui soluzione è

Quindi, prendendo abbiamo individuato un intorno sinistro di 0. Procediamo in modo analogo per verificare la (5), ossia che
scrivendo il sistema:

da cui ricaviamo la soluzione

Il grafico ci conferma i due risultati appena riscontrati
