Quando si considera la variabile 
che tende ad un valore 
e scriviamo 
, si assume che 
può avvicinarsi a 
sia con valori minori di 
via via crescenti (quindi da sinistra verso destra) sia con valori maggiori di 
e via via decrescenti (quindi da destra verso sinistra). Intuitivamente, dunque, si comprende che possiamo avere un limite destro ed un limite sinistro.
Per indicare che 
tende ad 
da sinistra e da destra si usano, rispettivamente, le due notazioni
Graficamente si può rappresentare come in figura
Pertanto, possiamo distinguere due limiti per 
che tende al punto 
e leggeremo: limite di 
per 
tende a 
da sinistra e per 
tende a 
da destra, rispettivamente.
Quando i valori della funzione si fissano su numeri differenti se ci si avvicina da sinistra o da destra i valori si dicono limite sinistro e limite destro.
Per la definizione di Weiestrass, alla condizione
sostituiremo le seguenti:
Possiamo dare ora il seguente teorema.
Teorema
Una funzione 
ha in 
un limite 
se e soltanto se esistono il limite sinistro e destro ed entrambi sono uguali ad 
, cioè
Se parliamo di intorni sinistro e destro di 
allora possiamo parlare di intorni di 
cioé limite per difetto 
e limite per eccesso 
.
Ricordiamo che un intorno sinistro e destro di un punto 
privati eventualmente di 
, si scrivono ripettivamente nel seguente modo:
Ritornando quindi alle due relazioni (1) e (2), vediamo come riscrivere la definizione di limite (sinistro e destro, rispettivamente).
Nel primo caso, quando parliamo di limite sinistro, possiamo dire che
se comunque preso
si ha
Graficamente possiamo rappresentare questa situazione con la figura
Nel secondo caso (limite destro), possiamo dire che
se comunque preso
si ha
In questo caso il grafico é il seguente
Completiamo ora con la seguente definizione in cui parleremo di limite per difetto e per eccesso di 
cioé 
ed 
:
Sia 
, con 
, si ha che
se comunque preso
tale che risulti
Analogamente per il limite destro possiamo dire che si ha
se comunque preso
tale che risulti
Facciamo adesso un esempio che ci aiuterà a comprendere meglio il concetto di limite sinistro e destro.
Esempio 1
Data la funzione
Verificare che si hanno i due limiti:
e
La funzione non é definita nel punto 
per cui possiamo scriverla così:
Per verificare il limite sinistro, ossia la (4), dobbiamo fissare un qualsiasi ϵ>0 ed impostare la condizione
ossia
Considerando che 
e stiamo calcolando il limite sinistro, possiamo considerare il sistema
da cui ricaviamo
la cui soluzione è
Quindi, prendendo 
abbiamo individuato un intorno sinistro di 0. Procediamo in modo analogo per verificare la (5), ossia che 
scrivendo il sistema:
da cui ricaviamo la soluzione
Il grafico ci conferma i due risultati appena riscontrati
