Fissato un riferimento cartesiano , si dice circonferenza goniometrica la circonferenza γ avente per centro l’origine e raggio uguale a 1, come mostrato in figura

Si consideri un angolo con vertice in e racchiuso tra due semirette
e
. L’angolo tra
e
è positivo se la rotazione che porta
su
spazza l’angolo nel verso antiorario (figura 1), è negativo in caso opposto (figura 2).


Si consideri un angolo positivo con vertice nel centro della circonferenza goniometrica e un lato coincidente con l’asse delle ascisse, allora l’altro lato taglierà la circonferenza in un punto
come in figura

Ricordando la formula per il calcolo dell’ampiezza di un angolo, essendo , la lunghezza dell'arco
coincide con la misura in radianti dell'angolo
.
Si definiscono coseno e seno di e si indicano con
e
(oppure dell’angolo
) rispettivamente l’ascissa e l’ordinata del punto
, cioè
.

Poichè il punto appartiene alla circonferenza goniometrica, sia l’ascissa che l’ordinata di
variano tra -1 e 1 e quindi l’immagine delle funzioni coseno e seno è limitata all’intervallo
. Inoltre l’angolo
può essere un qualunque numero reale. In altre parole, si ha


Inoltre, poiché appartiene alla circonferenza goniometrica (di centro
e raggio 1) di equazione
risulta

La (1) è detta relazione fondamentale della goniometria oppure relazione fondamentale tra coseno e seno.
Dalla (1) si ricavano le seguenti relazioni


Esempio 1
Calcolare il seno dell’angolo sapendo che
.
Dalla (2) si ha


Esempio 2
Calcolare il coseno dell’angolo sapendo che
.
Dalla (3) si ha


Vi sono tre situazioni geometriche per le quali è immediato valutare il valore del coseno e del seno, ossia casi di angoli particolari per cui risulta immediato il calcolo di tali funzioni.
Angoli il cui lato finale coincide con uno dei semiassi
Quando l'ampiezza dell'angolo è un multiplo di , il lato finale dell'angolo coincide con uno dei semiassi del riferimento. In tali casi o il coseno oppure il seno è uguale a zero e l'altro valore è 1 oppure -1. In particolare, si ottiene

Angoli che danno luogo ad un triangolo rettangolo isoscele
Quando l'ampiezza dell’angolo è un multiplo di ma non di
, si viene a determinare un triangolo isoscele di ipotenusa 1. I due cateti, essendo uguali, misurano entrambi
. Il coseno e il seno, in valore assoluto, valgono
. In particolare, si ottiene

Angoli che danno luogo ad un triangolo 30° - 60° - 90°
Quando l’ampiezza dell’angolo è un multiplo di ma non di
, si viene a determinare un triangolo rettangolo di angoli
,
e
che coincide con la metà di un triangolo equilatero di lato 1. Il cateto opposto all’angolo di
(cioè
) misura allora
; il cateto opposto all’angolo di
misura
.
In valore assoluto, e
sono i valori del coseno e del seno. In particolare, si ottiene

In definitiva, possiamo rappresentare graficamente quanto fin qui visto in formule, con la seguente figura
