Fissato un riferimento cartesiano , si dice circonferenza goniometrica la circonferenza γ avente per centro l’origine e raggio uguale a 1, come mostrato in figura

Si consideri un angolo con vertice in e racchiuso tra due semirette e . L’angolo tra e è positivo se la rotazione che porta su spazza l’angolo nel verso antiorario (figura 1), è negativo in caso opposto (figura 2).

Si consideri un angolo positivo con vertice nel centro della circonferenza goniometrica e un lato coincidente con l’asse delle ascisse, allora l’altro lato taglierà la circonferenza in un punto come in figura

Ricordando la formula per il calcolo dell’ampiezza di un angolo, essendo , la lunghezza dell'arco coincide con la misura in radianti dell'angolo .

Si definiscono coseno e seno di e si indicano con e (oppure dell’angolo ) rispettivamente l’ascissa e l’ordinata del punto , cioè .

Poichè il punto appartiene alla circonferenza goniometrica, sia l’ascissa che l’ordinata di variano tra -1 e 1 e quindi l’immagine delle funzioni coseno e seno è limitata all’intervallo . Inoltre l’angolo può essere un qualunque numero reale. In altre parole, si ha

Inoltre, poiché appartiene alla circonferenza goniometrica (di centro e raggio 1) di equazione risulta

La (1) è detta relazione fondamentale della goniometria oppure relazione fondamentale tra coseno e seno.

Dalla (1) si ricavano le seguenti relazioni

Esempio 1

Calcolare il seno dell’angolo sapendo che .

Dalla (2) si ha

Esempio 2

Calcolare il coseno dell’angolo sapendo che .

Dalla (3) si ha

Vi sono tre situazioni geometriche per le quali è immediato valutare il valore del coseno e del seno, ossia casi di angoli particolari per cui risulta immediato il calcolo di tali funzioni.

Angoli il cui lato finale coincide con uno dei semiassi

Quando l'ampiezza dell'angolo è un multiplo di , il lato finale dell'angolo coincide con uno dei semiassi del riferimento. In tali casi o il coseno oppure il seno è uguale a zero e l'altro valore è 1 oppure -1. In particolare, si ottiene

Angoli che danno luogo ad un triangolo rettangolo isoscele

Quando l'ampiezza dell’angolo è un multiplo di ma non di , si viene a determinare un triangolo isoscele di ipotenusa 1. I due cateti, essendo uguali, misurano entrambi . Il coseno e il seno, in valore assoluto, valgono . In particolare, si ottiene

Angoli che danno luogo ad un triangolo 30° - 60° - 90°

Quando l’ampiezza dell’angolo è un multiplo di ma non di , si viene a determinare un triangolo rettangolo di angoli , e che coincide con la metà di un triangolo equilatero di lato 1. Il cateto opposto all’angolo di (cioè ) misura allora ; il cateto opposto all’angolo di misura .

In valore assoluto, e sono i valori del coseno e del seno. In particolare, si ottiene

In definitiva, possiamo rappresentare graficamente quanto fin qui visto in formule, con la seguente figura