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Le funzioni seno e coseno

Fissato un riferimento cartesiano Studenti/matematica, si dice circonferenza goniometrica la circonferenza γ avente per centro l’origine e raggio uguale a 1, come mostrato in figura

Studenti/matematica

Si consideri un angolo con vertice in Studenti/matematica e racchiuso tra due semirette Studenti/matematica e Studenti/matematica. L’angolo tra Studenti/matematica e Studenti/matematica è positivo se la rotazione che porta Studenti/matematica su Studenti/matematica spazza l’angolo nel verso antiorario (figura 1), è negativo in caso opposto (figura 2).

Studenti/matematica
1
Studenti/matematica
2

Si consideri un angolo positivo con vertice nel centro della circonferenza goniometrica e un lato coincidente con l’asse delle ascisse, allora l’altro lato taglierà la circonferenza Studenti/matematica in un punto Studenti/matematica come in figura

Studenti/matematica

Ricordando la formula per il calcolo dell’ampiezza di un angolo, essendo Studenti/matematica, la lunghezza dell'arco Studenti/matematica coincide con la misura in radianti dell'angolo Studenti/matematica.

Si definiscono coseno e seno di Studenti/matematica e si indicano con Studenti/matematica e Studenti/matematica (oppure dell’angolo Studenti/matematica) rispettivamente l’ascissa e l’ordinata del punto Studenti/matematica, cioè Studenti/matematica.

Studenti/matematica

Poichè il punto Studenti/matematica appartiene alla circonferenza goniometrica, sia l’ascissa che l’ordinata di Studenti/matematica variano tra -1 e 1 e quindi l’immagine delle funzioni coseno e seno è limitata all’intervallo Studenti/matematica. Inoltre l’angolo Studenti/matematica può essere un qualunque numero reale. In altre parole, si ha

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Inoltre, poiché Studenti/matematica appartiene alla circonferenza goniometrica (di centro Studenti/matematica e raggio 1) di equazione Studenti/matematica risulta

Studenti/matematica
1

La (1) è detta relazione fondamentale della goniometria oppure relazione fondamentale tra coseno e seno.

Dalla (1) si ricavano le seguenti relazioni

Studenti/matematica
2
Studenti/matematica
3

Esempio 1

Calcolare il seno dell’angolo Studenti/matematica sapendo che Studenti/matematica.

Dalla (2) si ha

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Esempio 2

Calcolare il coseno dell’angolo Studenti/matematica sapendo che Studenti/matematica.

Dalla (3) si ha

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Vi sono tre situazioni geometriche per le quali è immediato valutare il valore del coseno e del seno, ossia casi di angoli particolari per cui risulta immediato il calcolo di tali funzioni.

Angoli il cui lato finale coincide con uno dei semiassi

Quando l'ampiezza dell'angolo è un multiplo di Studenti/matematica, il lato finale dell'angolo coincide con uno dei semiassi del riferimento. In tali casi o il coseno oppure il seno è uguale a zero e l'altro valore è 1 oppure -1. In particolare, si ottiene

Studenti/matematica

Angoli che danno luogo ad un triangolo rettangolo isoscele

Quando l'ampiezza dell’angolo è un multiplo di Studenti/matematica ma non di Studenti/matematica, si viene a determinare un triangolo isoscele di ipotenusa 1. I due cateti, essendo uguali, misurano entrambi Studenti/matematica. Il coseno e il seno, in valore assoluto, valgono Studenti/matematica. In particolare, si ottiene

Studenti/matematica

Angoli che danno luogo ad un triangolo 30° - 60° - 90°

Quando l’ampiezza dell’angolo è un multiplo di Studenti/matematica ma non di Studenti/matematica, si viene a determinare un triangolo rettangolo di angoli Studenti/matematica, Studenti/matematica e Studenti/matematica che coincide con la metà di un triangolo equilatero di lato 1. Il cateto opposto all’angolo di Studenti/matematica (cioè Studenti/matematica) misura allora Studenti/matematica; il cateto opposto all’angolo di Studenti/matematica misura Studenti/matematica.

In valore assoluto, Studenti/matematica e Studenti/matematica sono i valori del coseno e del seno. In particolare, si ottiene

Studenti/matematica

In definitiva, possiamo rappresentare graficamente quanto fin qui visto in formule, con la seguente figura

Studenti/matematica