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Le funzioni goniometriche: seno

Le funzioni goniometriche rientrano nella categoria delle funzioni trascendenti.

Definizioni preliminare e proprietà delle funzioni goniometriche principali sono introdotte nei moduli dedicati alle funzioni goniometriche. In questo modulo ci si limiterà semplicemente a richiamare il grafico e le principali caratteristiche della funzione seno e a descrivere i primi passi che conducono allo studio di funzione che includono la funzione seno.

È importante osservare che la caratteristica più significativa delle funzioni goniometriche è la periodicità. Pertanto sarà sufficiente studiare la funzione in un intervallo completo di periodicità per avere il comportamento in tutto il suo dominio.

Si consideri la circonferenza goniometrica (di centro l’origine e raggio 1) in un riferimento cartesiano Studenti/matematica e si consideri un punto Studenti/matematica su tale circonferenza. La semiretta uscente dall'origine e passante per Studenti/matematica, forma con l'asse delle ascisse un angolo Studenti/matematica. Si definiscono coseno e seno di Studenti/matematica e si indicano con Studenti/matematica e Studenti/matematica rispettivamente l'ascissa e l'ordinata del punto Studenti/matematica, cioè Studenti/matematica

Studenti/matematica

Si consideri la funzione Studenti/matematica. Il suo grafico, detto sinusoide, è il seguente

Studenti/matematica

Si ha che:

  • il dominio conicide con l’asse reale Studenti/matematica

  • il codominio è limitato e coincide con l’intervalloStudenti/matematica

  • è una funzione dispari

  • assume valori positivi nel primo e secondo quadrante e negativi nel terzo e quarto quadrante

  • è una funzione periodica di periodo Studenti/matematica

Nella seguente tabella sono riepilogati i valori assunti dalla funzione Studenti/matematica negli angoli particolari.

Studenti/matematica

Esempio

Si consideri al funzione

Studenti/matematica
1

Tipo di funzione

La funzione è del tipo trascendente goniometrica di periodo Studenti/matematica.

Dominio

Coincide con l’asse reale Studenti/matematica. Grazie alla periodicità è possibile scegliere un appropriato dominio di studio. In questo caso, come esaminato al passo 3, la funzione non presenta simmetrie evidenti, pertanto si sceglierà come dominio di studio l’intervallo Studenti/matematica.

Parità o disparità, simmetrie evidenti

Utilizzando le definizioni di funzioni pari e dispari

Studenti/matematica (definizione di funzioni pari)

Studenti/matematica (definizione di funzioni dispari)

si può concludere che la (1) non presenta simmetrie evidenti;

Segno

Studio della variazione del segno: bisogna porre Studenti/matematica. Si ha:

Studenti/matematica

risolvendo la disequazione, si può concludere che la funzione assume valori positivi per i valori di Studenti/matematica in Studenti/matematicae negativi in Studenti/matematica.

Intersezioni con gli assi

Intersezione con l'asse Studenti/matematica:

se Studenti/matematica allora Studenti/matematica.

Ciò significa che la funzione passa per i punti di coordinate Studenti/matematica e Studenti/matematica.

Intersezione con l'asse Studenti/matematica:

se Studenti/matematica allora Studenti/matematicacon Studenti/matematica.

Ciò significa che la funzione passa per i punti di coordinate Studenti/matematica, Studenti/matematica, Studenti/matematica.

Per consentire una corretta rappresentazione della funzione sarebbe necessario proseguire lo studio di funzione con il calcolo dei limiti, che fornisce informazioni sull’andamento della funzione in prossimità dei punti esclusi dal dominio e dei suoi estremi, con l’individuazione degli asintoti ed ancora con lo studio del comportamento delle derivate prime e seconde, che consentono di individuare eventuali punti di massimo e/o minimo della funzione, e/o punti di flesso. Questi argomenti sono trattati in altri moduli che trovi nell’indice generale.

Considerando le informazioni determinate nei 5 passi precedenti, possiamo disegnare il grafico della funzione come segue

Studenti/matematica