Le funzioni goniometriche rientrano nella categoria delle funzioni trascendenti.
Definizioni preliminare e proprietà delle funzioni goniometriche principali sono introdotte nei moduli dedicati alle funzioni goniometriche. In questo modulo ci si limiterà semplicemente a richiamare il grafico e le principali caratteristiche della funzione seno e a descrivere i primi passi che conducono allo studio di funzione che includono la funzione seno.
È importante osservare che la caratteristica più significativa delle funzioni goniometriche è la periodicità. Pertanto sarà sufficiente studiare la funzione in un intervallo completo di periodicità per avere il comportamento in tutto il suo dominio.
Si consideri la circonferenza goniometrica (di centro l’origine e raggio 1) in un riferimento cartesiano 
e si consideri un punto 
su tale circonferenza. La semiretta uscente dall'origine e passante per 
, forma con l'asse delle ascisse un angolo 
. Si definiscono coseno e seno di 
e si indicano con 
e 
rispettivamente l'ascissa e l'ordinata del punto 
, cioè 
Si consideri la funzione 
. Il suo grafico, detto sinusoide, è il seguente
Si ha che:
-
il dominio conicide con l’asse reale
-
il codominio è limitato e coincide con l’intervallo
-
è una funzione dispari
-
assume valori positivi nel primo e secondo quadrante e negativi nel terzo e quarto quadrante
-
è una funzione periodica di periodo
Nella seguente tabella sono riepilogati i valori assunti dalla funzione 
negli angoli particolari.
Esempio
Si consideri al funzione
Tipo di funzione
La funzione è del tipo trascendente goniometrica di periodo 
.
Dominio
Coincide con l’asse reale 
. Grazie alla periodicità è possibile scegliere un appropriato dominio di studio. In questo caso, come esaminato al passo 3, la funzione non presenta simmetrie evidenti, pertanto si sceglierà come dominio di studio l’intervallo 
.
Parità o disparità, simmetrie evidenti
Utilizzando le definizioni di funzioni pari e dispari
(definizione di funzioni pari)
(definizione di funzioni dispari)
si può concludere che la (1) non presenta simmetrie evidenti;
Segno
Studio della variazione del segno: bisogna porre 
. Si ha:
risolvendo la disequazione, si può concludere che la funzione assume valori positivi per i valori di 
in 
e negativi in 
.
Intersezioni con gli assi
Intersezione con l'asse 
:
se 
allora 
.
Ciò significa che la funzione passa per i punti di coordinate 
e 
.
Intersezione con l'asse 
:
se 
allora 
con 
.
Ciò significa che la funzione passa per i punti di coordinate 
, 
, 
.
Per consentire una corretta rappresentazione della funzione sarebbe necessario proseguire lo studio di funzione con il calcolo dei limiti, che fornisce informazioni sull’andamento della funzione in prossimità dei punti esclusi dal dominio e dei suoi estremi, con l’individuazione degli asintoti ed ancora con lo studio del comportamento delle derivate prime e seconde, che consentono di individuare eventuali punti di massimo e/o minimo della funzione, e/o punti di flesso. Questi argomenti sono trattati in altri moduli che trovi nell’indice generale.
Considerando le informazioni determinate nei 5 passi precedenti, possiamo disegnare il grafico della funzione come segue
